Transformada de Fourier

A Transformada de Fourier, bautizada en homenaxe a Jean-Baptiste Joseph Fourier, é unha transformada integral que expresa unha función en termos de funcións de base sinusoidal, i.e., como suma ou integral de funcións sinusoidais multiplicadas por coeficientes ("amplitudes"). Existen diversas variacións directamente relacionadas desta transformada, dependendo do tipo de función a transformar.

Aplicacións

As transformadas de Fourier teñen moitas aplicacións en disciplinas científicas — en Física, Teoría dos números, Análise combinatoria, Procesamento de sinal, Teoría das probabilidades, Estatística, Criptografía, Acústica, Oceanografía, Óptica, Xeometría e outras áreas. Nos campos relacionados co procesamento de sinal, a transformada de Fourier é tipicamente utilizada para decompor un sinal nas súas compoñentes en frecuencia e as súas amplitudes.

As transformadas son operadores lineares e, coa debida normalización, son tamén unarios (unha propiedade coñecida como o teorema de Parseval ou, máis xeralmente, como o teorema de Plancherel, e máis xeral aínda, a dualidade de Pontryag).
As transformadas son invertíbeis, e a transformada inversa ten case a mesma forma que a transformada.
As funcións de base sinusoidal son funcións de diferenciación, o que implica que esta representación transforma ecuacións diferenciais lineares con coeficientes constantes en ecuacións alxebricas ordinarias. (Por exemplo, nun sistema lineal invariante no tempo, a frecuencia é unha cantidade conservada, logo o comportamento en cada frecuencia pode ser resolvido independentemente.)
A través do teorema de convolución, as transformadas tornan a complicada operación de convolución en multiplicacións simple, o que as torna nun método eficiente de calcular operacións baseadas en convolución, como a multiplicación polinomial e multiplicación de números grandes.
A versión discreta da transformada de Fourier pode calcularse axiña por computadores, utilizando algoritmos baseados na transformada rápida de Fourier.

Transformada continua de Fourier

Xeralmente, a denominación "Transformada de Fourier" reférese á Transformada de Fourier para funcións continuas, que representa calquera función integrábel f(t) como a suma de exponenciais complexas con frecuencia angular ω e amplitude complexa F(ω):

F(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt

f(t)={\mathcal {F}}^{-1}(F(\omega ))={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega .

Transformada discreta de Fourier

Para uso en computadores, sexa para aplicacións científicas ou en procesamento dixital de sinais, é preciso ter valores $x_{k}$ discretos. Para iso existe a versión da transformada para funcións discretas.

x_{k}={\frac {1}{n}}\sum _{x=0}^{n-1}f_{x}e^{{\frac {2\pi i}{n}}xk}\quad \quad k=0,\dots ,n-1

.

f_{x}=\sum _{k=0}^{n-1}x_{k}e^{-{\frac {2\pi i}{n}}xk}\quad \quad x=0,\dots ,n-1

Un método largamente utilizado para o cálculo computacional desta versión é o algoritmo FFT (fast Fourier transform), cuxo desempeño é O(n log n) contra O(n²) necesarios para o mesmo cálculo, porén pola definición.

Algunhas transformadas de Fourier

$f(t)$	$F(w)$
$\delta (t)\,\!$	$1\,\!$
$\delta (t-a)\,\!$	$e^{-iaw}\,\!$
$u(t)\,\!$	$\pi \delta (w)+{\frac {1}{iw}}\,\!$
$1\,\!$	$2\pi \delta (w)\,\!$
$\operatorname {sgn} (t)\,\!$	${\frac {2}{iw}}\,\!$
$e^{iw_{0}t}\,\!$	$2\pi \delta (w-w_{0})\,\!$
$\cos w_{0}t\,\!$	$\pi (\delta (w-w_{0})+\delta (w+w_{0}))\,\!$
$\sin w_{0}t\,\!$	${\frac {\pi }{i}}(\delta (w-w_{0})-\delta (w+w_{0}))\,\!$
$\operatorname {rect} (t/a)\,\!$	$a\operatorname {sinc} (wa/2)\,\!$
$\cos(w_{0}t)u(t)\,\!$	${\frac {\pi }{2}}(\delta (w-w_{0})+\delta (w+w_{0}))+{\frac {iw}{w_{0}^{2}-w^{2}}}\,\!$
$\sin(w_{0}t)u(t)\,\!$	${\frac {\pi }{2i}}(\delta (w-w_{0})-\delta (w+w_{0}))+{\frac {iw}{w_{0}^{2}-w^{2}}}\,\!$
$\operatorname {rect} (t/a)\cos(w_{0}t)\,\!$	${\frac {a}{t}}\left(\operatorname {sinc} {\frac {(w-w_{0})a}{2}}+\operatorname {sinc} {\frac {(w+w_{0})a}{2}}\right)\,\!$
${\frac {b}{\pi }}\operatorname {sinc} (bt)\,\!$	$\operatorname {rect} (w/2b)\,\!$
$e^{-at}u(t),\operatorname {Re} (a)>0\,\!$	${\frac {1}{a+iw}}\,\!$
$1t^{n-1}e^{-at}u(t),\operatorname {Re} (a)>0\,\!$	${\frac {(n-1)!}{(a+iw)^{n}}}\,\!$
$e^{a\|t\|},\operatorname {Re} (a)>0\,\!$	${\frac {2a}{a^{2}+w^{2}}}\,\!$
$e^{-t^{2}}\,\!$	${\sqrt {\pi }}e^{-w^{2}/4}\,\!$
${\frac {1}{\sqrt {\|t\|}}}\,\!$	${\sqrt {\frac {2\pi }{\|w\|}}}\,\!$
${\frac {1}{t^{2}+a^{2}}}\,\!$	${\frac {\pi }{a}}e^{a\|w\|}\,\!$