Eksponentfunktsioon

Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul

$\mathrm {Exp} (z)=e^{z}\,,$

kus e on Euleri arv. Eksponentfunktsioon on naturaallogaritmi pöördfunktsioon.

Eksponentfunktsiooniks nimetatakse üldisemalt ka funktsiooni

$ca^{z}\,,$

kus a on positiivne konstant ja c on nullist erinev kordaja.

Omadused

Olgu z ja w kompleksarvud

• $e^{z+w}=e^{z}e^{w}\,,$
• $e^{0}=1\,,$
• $e^{z}\neq 0\,,$
• ${d \over dz}e^{z}=e^{z}\,,$
• $\,(e^{z})^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} \,.$

Juhul, kui z ja w on reaalarvud, kehtib

• $\,(e^{z})^{w}=e^{zw}\,.$

Formaalne definitsioon

Eksponentfunktsiooni saab tervel komplekstasandil defineerida astmereana

$e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$

Seda astmerida nimetatakse eksponentreaks. Seda rida saab kasutada eksponentfunktsiooni üldistamiseks juhule, kus z on ruutmaatriks või üldisemalt mõni Banachi algebra element.

Samaväärselt võib eksponentfunktsiooni defineerida

• piirväärtusena

$e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$

• integraalvõrrandi

$x=\int _{1}^{y}{dt \over t}.$

lahendina

• või diferentsiaalvõrrandi

$\,{d \over dx}y(x)=y(x),\quad y(0)=1$

lahendina.

Seos trigonomeetriliste funktsioonidega

Euleri valem

$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x),\,$

seob eksponentfunktsiooni trigonomeetriliste funktsioonidega.

Vaata ka

• Astendaja ehk eksponent
• Hüperboolsed funktsioonid
• Astmefunktsioon