Sferoid


Sferoid buntal	Sferoid lonjong

Sferoid atau elipsoid putaran merupakan permukaan kuadrik yang diperoleh dengan memutarkan elips sekitar satu daripada paksi utamanya atau dalam erti kata lain, satu elipsoid dengan dua semidiameter yang sama.

Jika elips diputar pada paksi utama, hasilnya ialah sferoid lonjong (dipanjangkan) seperti bola ragbi atau bola sepak Amerika. Jika elips berputar pada paksi minornya pula, ia menghasilkan sferoid buntal (dileperkan) seperti lentil. Jika elips yang dijanakan adalah bulatan, maka hasilnya ialah sfera.

Kerana kesan gabungan graviti dan putaran, secara kasarnya, bentuk sfera Bumi adalah sedikit leper dalam arah paksinya. Disebabkan itu, dalam kartografi Bumi sering dianggarkan sebagai sferoid buntal berbanding sfera. Model terkini Sistem Geodesi Dunia menggunakan sferoid dengan jejari 6,378.137 km pada khatulistiwa dan 6,356.752 km pada kutub.

Persamaan

Umpukan semi paksi pada suatu sferoid. Ii adalah buntal jika *c < a* dan lonjong jika *c > a*.

Persamaan elipsoid tiga paksi yang berpusat di asalan dengan semi-paksi a, b, c sejajar di sepanjang paksi koordinat adalah

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1

Persamaan suatu sferoid dengan Oz sebagai paksi simetri diberikan ketetapan sebagai a = b:

{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.

Semi-paksi a adalah jejari khatulistiwa sferoid, c adalah jarak daripada pusat ke kutub di sepanjang paksi simetri. Terdapat dua kemungkinan iaitu:

c < a : sferoid buntal
c > a : sferoid lonjong

Luas permukaan

Suatu sferoid buntal dengan c < a mempunyai luas permukaan seperti berikut:

S_{\rm {buntal}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}e\right)\quad {\mbox{dimana}}\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}.

Manakala bagi suatu sferoid lonjong dengan c > a mempunyai luas permukaan:

S_{\rm {lonjong}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\sin ^{-1}e\right)\qquad {\mbox{dimana}}\qquad e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}.

Isipadu

Isipada sferoid (dalam apa jua jenis) adalah:

(4\pi /3)a^{2}c\approx 4.19\,a^{2}c

Jika A = 2a adalah diameter khatulistiwa dan C = 2c adalah diameter kutub, isipadunya pula ialah:

(\pi /6)A^{2}C\approx 0.523\,A^{2}C

Kelengkungan

Jika suatu sferoid diparameterkan sebagai

{\vec {\sigma }}(\beta ,\lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,a\cos \beta \sin \lambda ,c\sin \beta );\,\!

dimana $\beta \,\!$ adalah garis lintang parameter atau terturun, $\lambda \,\!$ adalah garis bujur, dan $-{\frac {\pi }{2}}<\beta <+{\frac {\pi }{2}}\,\!$ dan $-\pi <\lambda <+\pi \,\!$ , jadi kelengkungan Gaussannya ialah

K(\beta ,\lambda )={c^{2} \over (a^{2}+(c^{2}-a^{2})\cos ^{2}\beta )^{2}};\,\!

dan min kelengkungan ialah

H(\beta ,\lambda )={c(2a^{2}+(c^{2}-a^{2})\cos ^{2}\beta ) \over 2a(a^{2}+(c^{2}-a^{2})\cos ^{2}\beta )^{3/2}}.\,\!

Lihat juga