Ciało ułamków

Ciało ułamków pierścienia całkowitego – ciało, konstruowalne dla danego pierścienia całkowitego ${\mathfrak {R}},$ o tej własności, że pierścień ten zanurza się w nim izomorficznie^[1]^[2]. Innymi słowy, ciało ułamków pierścienia całkowitego ${\mathfrak {R}}$ to pierścień ułamków zdefiniowany względem podzbioru multyplikatywnego ${\mathfrak {R}}\setminus \{0\},$ czyli na dziedzinie całkowitości^[3].

Obiekt ten nazywany jest ciałem ułamków pierścienia całkowitego^[1] lub ciałem ułamków dziedziny całkowitości^[4].

Konstrukcja

Mając daną dziedzinę całkowitości ${\mathfrak {R}},$ konstruuje się ciało ułamków tego pierścienia w następujący sposób. W zbiorze ${\mathfrak {R}}\times ({\mathfrak {R}}\setminus \{0\})$ określa się następującą relację:

(a,b)\wr (c,d)\Leftrightarrow ad=bc

^[5]^[6]^[7]^[8]^[9].

Relacja $\wr$ jest:

zwrotna, ponieważ: $ab=ba\Rightarrow (a,b)\wr (a,b);$
symetryczna, ponieważ: $(a,b)\wr (c,d)\Rightarrow ad=bc\Rightarrow cb=da\Rightarrow (c,d)\wr (a,b);$
przechodnia, ponieważ:

(a,b)\wr (c,d)\wedge (c,d)\wr (e,f)\Rightarrow ad=bc\wedge cf=de\Rightarrow adf=bcf\wedge bcf=bde\Rightarrow adf=bde{\stackrel {d\neq 0}{\Rightarrow }}af=be\Rightarrow (a,b)\wr (e,f)

^[5]^[9].

Zatem jest to relacja równoważności^[5]^[7]^[10]^[9].

Skonstruujmy zbiór ilorazowy (zbiór klas abstrakcji relacji $\wr$ ) następująco:

{\mathfrak {U}}({\mathfrak {R}}):=\left({\mathfrak {R}}\times ({\mathfrak {R}}\setminus \{0\})\right)/_{\wr }

^[11],

ze zdefiniowanymi w nim dobrze określonymi działaniami dodawania i mnożenia klas abstrakcji:

[(a,b)]_{\wr }\oplus [(c,d)]_{\wr }=[(ad+bc,bd)]_{\wr }\qquad [(a,b)]_{\wr }\odot [(c,d)]_{\wr }=[(ac,bd)]_{\wr }

^[11]^[9]^[8]^[12].

Powstała struktura ${\mathfrak {U}}({\mathfrak {R}}),$ wraz z określonymi na niej działaniami, jest ciałem^[13]^[14] i nazywana jest ciałem ułamków pierścienia ${\mathfrak {R}}$ ^[15]^[7]^[16].

Ułamki

Elementy ciała ułamków pierścienia całkowitego nazywa się ułamkami, a klasę $[(l,m)]_{\wr }$ zapisuje się zwyczajowo jako ${\frac {l}{m}}$ ^[9]^[15]^[7]^[8], przy czym liczbę $l$ nazywa się licznikiem, a $m$ – mianownikiem^[9].

Zanurzenie izomorficzne

Zdefiniujmy funkcję $\varphi \colon {\mathfrak {R}}\to {\mathfrak {U}}({\mathfrak {R}})$ następująco:

\varphi (x):=[(x,{\widetilde {\mathcal {1}}})]_{\wr },

gdzie

{\widetilde {\mathcal {1}}}

jest jedynką pierścienia^[13]^[17]^[18]^[9]^[19].

Funkcja ta jest izomorficznym zanurzeniem pierścienia ${\mathfrak {R}}$ w ciało ułamków^[13]^[17]^[19]. Umożliwia to utożsamienie elementów dziedziny całkowitości ${\mathfrak {R}}$ z odpowiednimi ułamkami ciała ${\mathfrak {U}}({\mathfrak {R}})$ ^[17].

Przykłady

Ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych $\mathbb {Z}$ jest izomorficzne z ciałem liczb wymiernych $\mathbb {Q}$ ^[4]^[15]^[6]^[3]^[20].
Ciało ułamków pierścienia $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]$ jest izomorficzne z ciałem $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ ^[21]^[22]^[23].
Ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych Gaussa $\mathbb {Z} [i]$ jest izomorficzne z ciałem Gaussa $\mathbb {Q} (i)$ ^[24]^[25]^[26].
Ciało ułamków pierścienia wielomianów stanowiącego dziedzinę całkowitości jest izomorficzne z ciałem wyrażeń wymiernych^[3]^[4]^[15]^[27]^[20]^[28].
- W szczególności, ciało ułamków pierścienia wielomianów rzeczywistych jest izomorficzne z ciałem funkcji wymiernych rzeczywistych^[6]^[9].
Ciała ułamków pierścienia wielomianów całkowitych i pierścienia wielomianów wymiernych są izomorficzne^[29].

Twierdzenia

Jeśli pierścienie całkowite są izomorficzne, to ich ciała ułamków również^[30]^[31].
Ciało ułamków dowolnego ciała $\mathbb {K}$ jest izomorficzne z ciałem $\mathbb {K}$ ^[32].
Ciało ułamków niezerowego ideału pierścienia całkowitego ${\mathfrak {R}}$ jest izomorficzne z ciałem ułamków tego pierścienia^[33].
Ciało ułamków dziedziny całkowitości ${\mathfrak {R}}$ to jedyne (z dokładnością do izomorfizmu) najmniejsze (w sensie inkluzji) ciało, w które zanurza się pierścień ${\mathfrak {R}}$ ^[19].

Przypisy

↑ ^a ^b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 334.
↑ AndrzejA. Białynicki-Birula AndrzejA., Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 172–175, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330 .
↑ ^a ^b ^c Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Field of Fractions, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
↑ ^a ^b ^c Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 195, Definicja 133.
↑ ^a ^b ^c Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 334, Twierdzenie 17.1 – Dowód.
↑ ^a ^b ^c Wykład 10 – ciała i pierścienie ilorazowe, [w:] Logika i Teoria Mnogości [online], Politechnika Warszawska, s. 1 [dostęp 2020-11-07] (pol.).
↑ ^a ^b ^c ^d Edupedia, Ciało ułamków.
↑ ^a ^b ^c JerzyJ. Rutkowski JerzyJ., Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 194, ISBN 83-01-14388-6, ISBN 978-83-01-14388-6, OCLC 76326157 .
↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h AndrzejA. Białynicki-Birula AndrzejA., Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 173, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330 .
↑ Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 195, z. 754.
↑ ^a ^b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 335, Twierdzenie 17.1 – Dowód.
↑ Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 196, z. 755.
↑ ^a ^b ^c Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 336, Twierdzenie 17.1. – Dowód.
↑ Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 197, z. 756.
↑ ^a ^b ^c ^d Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 336.
↑ AndrzejA. Białynicki-Birula AndrzejA., Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 174, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330 .
↑ ^a ^b ^c JerzyJ. Rutkowski JerzyJ., Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 195, ISBN 83-01-14388-6, ISBN 978-83-01-14388-6, OCLC 76326157 .
↑ Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 197, z. 757.
↑ ^a ^b ^c AndrzejA. Białynicki-Birula AndrzejA., Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 175, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330 .
↑ ^a ^b AndrzejA. Białynicki-Birula AndrzejA., Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 172, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330 .
↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 338, Zadanie 17.2.
↑ Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 197, z. 768.
↑ Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, ISBN 978-83-01-15817-0, s. 176, z. 1.
↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 338, Zadanie 17.1.
↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 292, Zadanie 15.5.
↑ Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 197, z. 769.
↑ Pierre Antoine Grillet, Abstract algebra, 2007 s. 124.
↑ Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, ISBN 978-83-01-15817-0, s. 175, Przykład.
↑ Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 195–196, Przykład 110.
↑ Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 337, Twierdzenie 17.2.
↑ Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 197, z. 766.
↑ Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 197, z. 765.
↑ Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 198, z. 755.

Linki zewnętrzne

Field of fractions (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].

[Algebra-1] Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 334.

[2] AndrzejA. Białynicki-Birula AndrzejA., Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 172–175, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330 .

[wol-3] Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Field of Fractions, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).

[def-4] Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 195, Definicja 133.

[tw1-5] Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 334, Twierdzenie 17.1 – Dowód.

[wykl-6] Wykład 10 – ciała i pierścienie ilorazowe, [w:] Logika i Teoria Mnogości [online], Politechnika Warszawska, s. 1 [dostęp 2020-11-07] (pol.).

[edu-7] Edupedia, Ciało ułamków.

[Rut-8] JerzyJ. Rutkowski JerzyJ., Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 194, ISBN 83-01-14388-6, ISBN 978-83-01-14388-6, OCLC 76326157 .

[BB173-9] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h AndrzejA. Białynicki-Birula AndrzejA., Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 173, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330 .

[10] Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 195, z. 754.

[tw2-11] Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 335, Twierdzenie 17.1 – Dowód.

[12] Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 196, z. 755.

[tw3-13] Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 336, Twierdzenie 17.1. – Dowód.

[14] Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 197, z. 756.

[Gl-15] Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s. 336.

[BB174-16] AndrzejA. Białynicki-Birula AndrzejA., Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 174, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330 .

[Rut2-17] JerzyJ. Rutkowski JerzyJ., Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 195, ISBN 83-01-14388-6, ISBN 978-83-01-14388-6, OCLC 76326157 .

[18] Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 197, z. 757.

[BB175-19] AndrzejA. Białynicki-Birula AndrzejA., Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 175, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330 .

[BB172-20] AndrzejA. Białynicki-Birula AndrzejA., Algebra, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 172, ISBN 978-83-01-15817-0, OCLC 833425330 .

[21] Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 338, Zadanie 17.2.

[22] Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 197, z. 768.

[23] Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, ISBN 978-83-01-15817-0, s. 176, z. 1.

[24] Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 338, Zadanie 17.1.

[25] Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 292, Zadanie 15.5.

[26] Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 197, z. 769.

[27] Pierre Antoine Grillet, Abstract algebra, 2007 s. 124.

[28] Andrzej Białynicki-Birula, Algebra, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, ISBN 978-83-01-15817-0, s. 175, Przykład.

[29] Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 195–196, Przykład 110.

[30] Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2, s. 337, Twierdzenie 17.2.

[31] Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 197, z. 766.

[32] Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 197, z. 765.

[33] Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 198, z. 755.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]