Contrazione di un tensore

In geometria differenziale, la contrazione di un tensore è un'operazione che trasforma un tensore di tipo $(h,k)$ in un tensore di tipo $(h-1,k-1)$.

Questa operazione è a volte detta traccia. Se il tensore è di tipo (1,1), questa equivale effettivamente al calcolo della traccia di una matrice associata.

Definizione

La contrazione di un tensore misto di tipo $(h,k)$ è definita nel modo seguente: si scrive il tensore iniziale usando gli indici, quindi se ne prendono due, uno superiore e l'altro inferiore, si indicano con la stessa lettera, e si interpreta il tensore risultante secondo la notazione di Einstein. Ad esempio, dato

$T_{\ \ cd}^{ab}$

poniamo $b=c=i$ e scriviamo

$T_{\ d}^{a}=T_{\ \ id}^{ai}.$

Il tensore risultante equivale a

$T_{\ d}^{a}=\sum _{i=1}^{n}T_{\ \ id}^{ai}=T_{\ \ 1d}^{a1}+\ldots +T_{\ \ nd}^{an}.$

Costruzioni come questa, effettuate usando coordinate, dipendono sempre dalla scelta di una base. Il punto importante in questa costruzione specifica sta nel fatto che non dipende dalla base usata: questo è dovuto al fatto che i due indici contratti sono ad altezze diverse, e quindi le due matrici corrispondenti $A$ e $C$ nell'espressione che descrive la mutazione del tensore al cambiamento di base sono una inversa dell'altra e si elidono.

Esempio

Se $T_{b}^{a}$ è un tensore di tipo $(1,1)$, il tensore contratto $T_{i}^{i}$ è di tipo $(0,0)$, cioè uno scalare. Interpretando $T_{b}^{a}$ come endomorfismo, lo scalare è la traccia dell'endomorfismo, definita come la somma degli elementi $T_{i}^{i}$ che stanno sulla diagonale principale di una matrice associata $T_{b}^{a}$.

Bibliografia

• (EN) Donald H. Menzel. Mathematical Physics. Dover Publications, New York.
• (EN) Richard L. Bishop and Samuel I. Goldberg, Tensor Analysis on Manifolds, Dover, 1980, ISBN 0486640396.

Voci correlate

• Innalzamento e abbassamento degli indici