Conjunto parcialmente ordenado

En matemáticas, especialmente en teoría del orden, un conjunto parcialmente ordenado o simplemente conjunto ordenado^[a] (o poset, del inglés partially ordered set) es un conjunto equipado con una relación binaria de orden parcial, que formaliza el concepto intuitivo de orden, secuencia, o arreglo de los elementos del conjunto. Tal orden no necesariamente debe ser total, es decir, no necesariamente deben poder compararse todos los elementos con todos los otros elementos del conjunto, sin embargo esto puede ocurrir en algunos casos (en otras palabras, el orden total es un caso particular del orden parcial).

Definición formal

Un orden parcial es una relación binaria R sobre un conjunto X que es reflexiva, antisimétrica, y transitiva, es decir, para cualquier a, b, y c en X se tiene que:^[1]

aRa (reflexividad).
Si aRb y bRa, entonces a = b (antisimetría).
Si aRb y bRc, entonces aRc (transitividad).

Un conjunto con un orden parcial se denomina conjunto parcialmente ordenado o poset. A veces se usa la expresión conjunto ordenado para uno parcialmente ordenado, siempre que quede claro que no se hará referencia a otras clases de orden. En particular, a un conjunto totalmente ordenado también se lo llama ordenado a secas, en especial en campos donde estos son más comunes que los parcialmente ordenados.

Usualmente se usa la notación de "≤" en lugar de "R" para el orden total, ya que este cumple con la dicotomía.

Ejemplos

Conjunto de los subconjuntos de {x,y,z}, ordenado por inclusión.

Algunos de los ejemplos más conocidos son los siguientes:

El conjunto de los naturales con su orden usual (la relación "menor o igual"). Este orden es además un orden total.
El conjunto de los enteros con su orden usual. Este orden es también total.
Un subconjunto finito {1, 2,..., n} de los naturales. Este orden es también total.
El conjunto de naturales ordenado por la relación de divisibilidad.
El conjunto de subconjuntos de un conjunto dado (i.e. su conjunto de partes) ordenado por inclusión.
El conjunto de subespacios de un espacio vectorial, ordenado por inclusión.
El conjunto de subespacios de una topología, ordenado por inclusión.

Órdenes parciales estrictos y no estrictos

En algunos contextos, el orden parcial anteriormente definido se denomina no estricto o reflexivo; así pues, un orden parcial estricto o irreflexivo es una relación binaria que es irreflexiva y transitiva, y por lo tanto asimétrica. De forma equivalente, asimétrica (y por lo tanto irreflexiva) y transitiva.

Es decir, para cualquier a, b, y c en X se tiene que:

¬(aRa) (irreflexividad).
Si aRb, entonces ¬(bRa) (asimetría).
Si aRb y bRc, entonces aRc (transitividad).

Si R es un orden parcial no estricto, entonces S = R − {(a, a) | a ∈ X} es el orden parcial estricto correspondiente. Análogamente, todo orden parcial estricto S tiene uno no estricto correspondiente, a saber, S ∪ {(a, a) | a ∈ X}, o la "clausura reflexiva" de R.

Los órdenes parciales estrictos son útiles porque se corresponden más directamente con los grafos acíclicos dirigidos: todo orden parcial estricto es un G.A.D., y la clausura transitiva de un G.A.D. es, además de un orden parcial estricto, un G.A.D. en sí misma.