Ημιτονοειδής καμπύλη

Οι όροι «ημιτονοειδής συνάρτηση» και «ημιτονοειδές κύμα» ανακατευθύνουν εδώ.

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ημίτονο (κόκκινη γραμμή) και συνημίτονο (γαλάζια γραμμή) είναι ημιτονοειδείς καμπύλες με διαφορετική φάση.

Η ημιτονοειδής καμπύλη ή ημιτονοειδές κύμα είναι μία μαθηματική καμπύλη, που περιγράφει μία απλή περιοδική ταλάντωση. Οι αντίστοιχες ημιτονοειδείς συναρτήσεις (ημίτονο και συνημίτονο), των οποίων αποτελεί τη γραφική παράσταση, είναι παντού συνεχείς και παραγωγίσιμες. Αντιπροσωπεύει ένα συνεχές κύμα, δηλαδή κύμα με σταθερό πλάτος και μήκος κύματος. Συναντάται συχνά στα καθαρά και εφαρμοσμένα μαθηματικά, στη φυσική, τις επιστήμες μηχανικών, την επεξεργασία σήματος και σε άλλα πεδία. Η βασικότερη μορφή της δίνεται ως συνάρτηση του χρόνου (t):

y(t)=A\sin(2\pi ft+\varphi )=A\sin(\omega t+\varphi )

όπου:

A το πλάτος, η μέγιστη απόλυτη τιμή της συναρτήσεως, δηλαδή η μέγιστη απόσταση της καμπύλης από τον άξονα των x.
f, η συχνότητα, ο αριθμός των ταλαντώσεων («κύκλων») σε κάθε δευτερόλεπτο χρόνου.
ω = 2πf, η γωνιακή συχνότητα, ο ρυθμός μεταβολής του ορίσματος της συναρτήσεως σε μονάδες ακτινίων ανά δευτερόλεπτο.
$\varphi$ , η φάση, που προσδιορίζει (σε ακτίνια) σε ποιο σημείο του κύκλου της βρίσκεται η ταλάντωση τη χρονική στιγμή t = 0.

Εάν το $\varphi$ δεν είναι μηδέν, τότε ολόκληρη η κυματομορφή εμφανίζεται μετατοπισμένη στον χρόνο κατά $\varphi$ /ω. Οι αρνητικές τιμές του αντιπροσωπεύουν καθυστέρηση, ενώ οι θετικές αντιπροσωπεύουν προβάδισμα.

Η ταλάντωση ενός συστήματος ελατηρίου-μάζας χωρίς απόσβεση περί το σημείο ισορροπίας περιγράφεται από ημιτονοειδή καμπύλη.

Το ημιτονοειδές κύμα είναι σημαντικό στη φυσική επειδή διατηρεί το σχήμα του όταν προστίθεται σε ένα άλλο ημιτονοειδές κύμα της ίδιας συχνότητας και οποιασδήποτε φάσεως. Είναι η μοναδική περιοδική κυματομορφή που έχει αυτή την ιδιότητα. Η ιδιότητα αυτή την καθιστά σημαντική στην ανάλυση Φουριέ.

Γενική μορφή

Γενικότερα, η μαθηματική σχέση που περιγράφει την καμπύλη μπορεί να περιλαμβάνει επίσης:

Μια χωρική μεταβλητή x, που αντιπροσωπεύει τη θέση στη διάσταση κατά την οποία διαδίδεται το κύμα, και μία χαρακτηριστική παράμετρο k, που είναι γνωστή ως κυματαριθμός και αντιπροσωπεύει την αναλογία ανάμεσα στη γωνιακή συχνότητα ω και στη γραμμική ταχύτητα φάσης) ν.
Κάποιο μη μηδενικό κεντρικό πλάτος D.

Τότε η μαθηματική έκφραση της καμπύλης είναι

y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi )+D\,

, αν το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά

y(x,t)=A\sin(kx+\omega t+\varphi )+D\,

, αν το κύμα διαδίδεται προς τα αριστερά

Ο κυματαριθμός συνδέεται με τη γωνιακή συχνότητα με τη σχέση:

k={\omega  \over v}={2\pi f \over v}={2\pi  \over \lambda }

όπου λ είναι το μήκος κύματος, f η συχνότητα και v η γραμμική ταχύτητα.

Αυτή η εξίσωση δίνει ένα ημιτονοειδές κύμα στη μία διάσταση, δηλαδή τη μετατόπιση του κύματος σε μια θέση x τη χρονική στιγμή t κατά μήκος μιας ευθείας. Αυτή π.χ. θα μπορούσε να είναι η τιμή του πλάτους ενός κύματος κατά μήκος μιας χορδής.

Στις δύο ή στις τρεις διαστάσεις του χώρου, η ίδια εξίσωση περιγράφει ένα διαδιδόμενο επίπεδο κύμα, αν η μετατόπιση x και ο κυματαριθμός k θεωρηθούν ως διανύσματα και το γινόμενό τους ως εσωτερικό γινόμενο. Για σύνθετα κύματα, όπως το κύμα νερού σε μια λιμνούλα μετά την πτώση μιας πέτρας σε αυτή, χρειάζονται πιο πολύπλοκες εξισώσεις.

Παραδείγματα

Εποπτική απεικόνιση της θεμελιώδους σχέσεως του ημιτονοειδούς κύματος με τον κύκλο

Οι ημιτονοειδείς κυματομορφές συναντώνται συχνά στη φύση, όπως στον κυματισμό της θάλασσας, τα ηχητικά κύματα και τα κύματα του φωτός.

Η γραφική παράσταση της συναρτήσεως συνημίτονο είναι και αυτή ημιτονοειδής καμπύλη, επειδή $\cos(x)=\sin(x+\pi /2),$ που είναι ημιτονοειδές κύμα με μετατόπιση φάσεως π/2 ακτίνια.

Το ανθρώπινο αφτί μπορεί να αναγνωρίζει απλά ημιτονοειδή ηχητικά κύματα ως καθαρούς ήχους, επειδή τα ημιτονοειδή κύματα αντιπροσωπεύουν μία μόνο συχνότητα, χωρίς αρμονικές. Αντιθέτως, ένας ήχος που αποτελείται από περισσότερα του ενός ημιτονοειδή κύματα, θα ακούγεται με διάφορες χροιές, καθώς η πρόσθεση διαφορετικών ημιτονοειδών κυμάτων δίνει μια διαφορετική μορφή κύματος. Η παρουσία ανώτερων αρμονικών μαζί με τη θεμελιώδη μεταβάλλει τη χροιά του ήχου και για τον λόγο αυτόν η ίδια μουσική νότα (συχνότητα) όταν παίζεται σε διαφορετικά μουσικά όργανα ηχεί διαφορετικά. Εάν ο ήχος περιέχει και μη περιοδικά κύματα (τα ημιτονοειδή είναι πάντοτε περιοδικά), τότε ο ήχος γίνεται αντιληπτός ως «θορυβώδης», καθώς ο θόρυβος χαρακτηρίζεται από την έλλειψη περιοδικότητας.

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

«Sinusoid». Encyclopedia of Mathematics. Springer. Ανακτήθηκε στις 8 Δεκεμβρίου 2013.