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Was ist Trigonometrie?

Trigonometrie behandelt die Definitionen und Beschreibung von Dreiecken. Die Trigonometrie beschreibt die entstehenden Figuren und Verhältnisse mit Hilfe von mathematischen Gleichungen zwischen einzelnen Elementen im Dreieck. Somit entstehen neue Definitionen und Objekte, die zur Konstruktion des einzelnen, bestimmten Dreiecks beitragen können.

Die Trigonometrie hat ihre Ursprünge in der Zeit der "griechischen Hochzeit", als neben Philosophie und Politik, die Geometrie und vor allem die Trigonometrie eine Hochphase hatte. Sie behandelt alles, was mit Dreiecken und darauf aufbauenden Figuren zu tun hat.

Benennung eines Dreiecks

Bei der Benennung des Dreiecks hat sich folgender Standard durchgesetzt:

1. Alle Seiten werden mit einem kleinen Buchstaben (a, b, c) benannt.
2. Alle Ecken werden mit einem Großbuchstaben (A, B, C) benannt.
3. Alle Winkel werden mit kleinen Griechischen Buchstaben ($\alpha$, $\beta$ und $\gamma$) benannt.
4. Der an einer Ecke anliegende Winkel wird wie die Ecke bezeichnet. (Der Winkel $\angle BAC$ wird mit $\alpha$ bezeichnet)
5. Die einer Ecke gegenüberliegende Seite wird mit dem gleichen Buchstaben bezeichnet.

Wie auch sonst in der Mathematik üblich, werden die Ecken, Winkel und Seiten entgegen dem Uhrzeigersinn durchbuchstabiert:

Neben diesen Konventionen gibt es noch spezielle Regeln z.B. für das rechtwinklige Dreieck:

(Platzhalter: Rechtwinkliges Dreieck, Kathete, Hypotenuse, etc)

1. Die Höhen

Die Höhen eines Dreiecks sind das Lot auf eine Seite des Dreiecks vom gegenüberliegenden Punkt aus. Alle Höhen schneiden sich in einem Punkt $H$. $h_{a},h_{b}$ und $h_{c}$ bezeichnen die Höhen für die Seiten $a,b$ und $c$.

2. Die Winkelhalbierenden

Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Teile. Alle Winkelhalbierenden schneiden sich in dem Punkt $I$. $W_{a},W_{b}$ und $W_{c}$ bezeichnen die Winkelhalbierenden für die Winkel an den Punkten $A,B$ und $C$.

3. Der Inkreismittelpunkt

Der Inkreis eines Dreiecks ist ein Kreis, der jede Seite des Dreiecks in genau einem Punkt berührt. Der Mittelpunkt $M$ des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden $W_{a},W_{b},W_{c}$. Der Radius des Kreises ist der minimale Abstand von dem Punkt $M$ zu einer Dreiecksseite.

4. Die Seitenhalbierenden / Der Schwerpunkt

Die Seitenhalbierende eines Dreiecks wird die Strecke genannt, die einen Eckpunkt ($A,B,C$) des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Dreiecksseite verbindet. Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in dem Punkt $S$, welcher 'Schwerpunkt' genannt wird. Der Schwerpunkt $S$ teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis $2:1$.

5. Die Mittelsenkrechten

Eine Mittelsenkrechte steht senkrecht auf der Mitte einer Dreiecksseite. Alle Mittelsenkrechten schneiden sich im Punkt $M$.

6. Der Umkreismittelpunkt

Der Umkreis ist der Kreis, der alle drei Eckpunkte des Dreiecks schneidet. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Der Radius des Kreises ist die Länge der Strecke von Punk $M$ zu $A,B$ oder $C$. ($R={\overline {MA}}={\overline {MB}}={\overline {MC}}$)

7. Die Eulergerade

In jedem Dreieck liegen der Höhenschnittpunkt H, der Umkreismittelpunkt M und der Schwerpunkt S auf einer Geraden, die Eulergerade heißt. Die Strecke von H nach S ist doppelt so lang, wie die Strecke von S nach M.

Einen Sonderfall stellt das gleichseitige Dreieck dar. Dort fallen H, M und S auf einen Punkt, da Höhen, Mittelsenkrechten und Seitenhalbierende identisch sind.

(Sonder-)Formen von Dreiecken

Es gibt verschiedene Formen von Dreiecken die spezielle Namen tragen.

Das gleichschenklige Dreieck

Dieses Dreieck hat zwei gleichlange Seiten.
In diesem Dreieck gilt $\beta$ = $\gamma$.

Das gleichseitige Dreieck

Beim gleichseitigen Dreieck haben alle Seiten die gleiche Länge.
Alle Winkel sind 60° groß: $\alpha$ = $\beta$ = $\gamma$ = 60°

Das rechtwinklige Dreieck

Das rechtwinklige Dreieck besitzt einen Winkel mit 90°. Ausgehend von diesem Winkel werden die Seiten folgendermaßen benannt:

• Die den rechten Winkel einschließenden Seiten heißen Katheten
• Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite wird Hypotenuse genannt.
• Außerdem kann man noch zwischen Ankathete und Gegenkathete unterscheiden. Diese werden immer in Bezug auf einen spitzen Winkel so genannt. Die am spitzen Winkel anliegende Kathete nennt man Ankathete, die dem spitzen Winkel gegenüberliegende Gegenkathete (evtl. Merksatz hinzufügen)

(Hier Bild mit den Benennungen einfügen (evtl. 2 wg. An- u. Gegenkathete))

Dieses Wissen braucht man vor allem später für die Winkelfunktionen

Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck

Kathetensätze

Bei den Kathetensätzen geht es darum, Verhältnisse zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden.

Kathetensatz (Euklid)

Beweis:

1. Nachweis mittels ähnlichen Dreiecken:

Im oben abgebildeten Dreieck sind drei ähnliche Dreiecke vorhanden.

Die Ähnlichkeit wird mit Hilfe einer der vier Ähnlichkeitsätze nachgewiesen: "Zwei Dreiecke sind genau dann ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen"

Folgende Winkel tauchen wiederholt auf:

2. Verwendung von Streckenverhältnissen

${\mathsf {\triangle ABC\sim \triangle CBD\sim \triangle ACD}}$

${\mathsf {{\overline {AD}}:{\overline {AC}}={\overline {AC}}:{\overline {AB}}}}$

${\mathsf {p:b=b:c}}$

${\frac {p}{b}}={\frac {b}{c}}\to p\cdot c=b\cdot b=b^{2}$

$b^{2}=p\cdot c$

Analog

$a^{2}=q\cdot c$

Das Quadrat einer Kathete ist gleich dem Produkt des anliegenden Hypotenusenabschnitts und der Hypotenuse.

Winkelfunktionen

Für die Bearbeitung dieses Kapitels muss man zunächst wissen, was eine (An-)Kathete, Gegenkathete und eine Hypotenuse ist (siehe rechtwinkliges Dreieck). Vor allem in der Physik braucht man die Winkelfunktionen häufig.

Merkhilfe

Bewährt als Merkhilfe für die Berechnung hat sich folgende Eselsbrücke:

(sprich: gaga HühnerHof AG)

.....G....A...G...A

.....H....H...A...G

....sin..cos.tan.cot

mit G= Gegenkathete, A= Ankathete, H= Hypotenuse

Sinus

Der Sinus ist ein Seitenverhältnis. Er bestimmt das Verhältnis der Gegenkathete (von $\alpha$) zur Hypotenuse. Abgekürzt: $\sin \alpha$

$\sin \alpha ={\frac {Gegenkathete}{Hypotenuse}}={\frac {a}{c}}$

Cosinus

Der Cosinus ist Ankathete durch die Hypotenuse. Im Bild oben:

Ankathete (von $\alpha$) zur Hypotenuse. Abgekürzt: $\cos \alpha$

$\cos \alpha ={\frac {Ankathete}{Hypotenuse}}={\frac {b}{c}}$

Im Bild oben:

Tangens

Der Tangens von (von $\alpha$)

Gegenkathete (von $\alpha$) zur Ankathete. Abgekürzt: $\tan \alpha$

$\tan \alpha ={\frac {Gegenkathete}{Ankathete}}={\frac {a}{b}}={\frac {1}{\cot \alpha }}$

Des Weiteren ist der Tangens als der Quotient von Sinus und Cosinus definiert:

$\ tan\alpha ={\frac {sin\alpha }{cos\alpha }}={\frac {Gegenkathete}{Hypotenuse}}\cdot {\frac {Hypotenuse}{Ankathete}}={\frac {Gegenkathete}{Ankathete}}$

Cotangens

Der Cotangens von $\alpha$ ist definiert als das Verhältnis der Ankathete (von $\alpha$) zur Gegenkathete. Abgekürzt: $\cot \alpha$

$\cot \alpha ={\frac {Ankathete}{Gegenkathete}}={\frac {b}{a}}={\frac {1}{\tan \alpha }}$

Analog zum Tangens gilt hier, dass der Cotangens das Verhältnis von Cosinus zu Sinus ist.

Secans

Der Secans von $\alpha$ ist definiert als der Quotient von der Hypotenuse durch die Ankathete (von $\alpha$). Abgekürzt: $\sec \alpha$

$\sec \alpha ={\frac {Hypotenuse}{Ankathete}}={\frac {c}{b}}={\frac {1}{\cos \alpha }}$

(Im deutschen Sprachraum wird der Secans nur selten verwendet.)

Cosecans

Der Cosecans von $\alpha$ ist definiert als der Quotient von der Hypotenuse durch die Gegenkathete (von $\alpha$). Abgekürzt: $\csc \alpha$

$\csc \alpha ={\frac {Hypotenuse}{Gegenkathete}}={\frac {c}{a}}={\frac {1}{\sin \alpha }}$

(Im deutschen Sprachraum wird der Cosecans nur selten verwendet.)

Einheitskreis (r = 1)

Diese 4 Winkelfunktionen lassen sich am besten am Einheitskreis veranschaulichen. ( α=Θ )

Sinus- und Kosinussatz

Der Sinus, Kosinus und Tangens kann nur in einem rechtwinkligen Dreieck verwendet werden. Mithilfe von Sinus- und Kosinussatz kann man jedes Dreieck berechnen solange genügend Werte vorhanden sind, denn jedes Dreieck kann in zwei kleine rechtwinkelige Dreiecke zerlegt werden.

Sinussatz

Mithilfe des Sinus kann man nun beide kleine Dreiecke nach $h_{c}$ auflösen:
$\sin \alpha ={\frac {h_{c}}{b}}\quad ,\quad \quad \sin \beta ={\frac {h_{c}}{a}}$

$b\cdot \sin \alpha =h_{c}\quad ,\quad a\cdot \sin \beta =h_{c}$

nun setzt man beide Gleichungen nach $h_{c}$ gleich:

$b\cdot \sin \alpha =a\cdot \sin \beta$
nun kann die Gleichung noch durch $\sin \beta$ und $b$ dividieren und man erhält:
${\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}$

Dies kann man für jeden Winkel und jede Seite machen:
${\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}\quad ,$ ${\frac {a}{c}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }}\quad ,$ ${\frac {b}{c}}={\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}$

Kosinussatz

...

Klärung von Fachbegriffen/Zeichen

Kathete

Seite eines rechtwinkeligen Dreiecks, die am rechten Winkel liegt.

Hypotenuse

Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck; sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Ankathete

Die Kathete am gegebenen Winkel.

Gegenkathete

Die Kathete gegenüber des gegebenen Winkels.

Winkel

Geometrische Figur, welche aus zwei Strahlen, die von einem gemeinsamen Punkt ausgehen, und der dazwischen liegenden Fläche besteht.

spitzer Winkel

Winkel kleiner als 90°.

rechter Winkel

Winkel mit genau 90°.

stumpfer Winkel

Ein Winkel größer als 90° und kleiner als 180°.

gestreckter Winkel

Ein Winkel der Größe 180°.

überstumpfer (erhabener) Winkel

Ein Winkel größer als 180° und kleiner als 360°.

Vollwinkel

Ein Winkel, der 360° groß ist.

Komplementärwinkel

Bezeichnet einen Winkel, der den gegebenen Winkel zu 90° erweitert.

Supplementärwinkel

Ein Winkel, der den gegebenen Winkel zu 180° erweitert.

Winkelhalbierende

Eine Gerade, die durch den Schnittpunkt von zwei weiteren Geraden verläuft, und zu beiden den gleichen Winkel hat.

Seitenhalbierende

Eine Gerade, die durch die Mitte einer Strecke verläuft.

Mittelsenkrechte

Eine Seitenhalbierende, die die Strecke unter 90° schneidet.