Strom (graf)

V teorii grafů se jako strom označuje graf, který je souvislý a neobsahuje žádnou kružnici. Lze jej ovšem definovat i dalšími způsoby:

Následující podmínky pro neorientovaný graf G jsou ekvivalentní:

G je strom.
Každé dva vrcholy z G jsou spojeny právě jednou cestou (jednoznačnost cesty).
G je souvislý a po odebrání libovolné hrany se stane nesouvislým (minimální souvislost).
G neobsahuje kružnici, ale po přidání libovolné hrany vznikne v G kružnice (maximální graf bez kružnic) .
G je souvislý a $\left|V\right|=\left|E\right|+1$ , kde V je množina vrcholů a E množina hran grafu G.

Stromy mohou být:

neorientované
orientované (kořenové)

Les

Les je neorientovaný graf, ve kterém jsou libovolné dva vrcholy spojeny nejvýše jednou cestou. Ekvivalentní definice zní, že les je množina navzájem nepropojených stromů (odtud tedy jméno). Rovněž lze les definovat jako obyčejný graf, jehož žádný podgraf není kružnicí.

Zakořeněný strom

Tzv. zakořeněný strom (též kořenový) má jeden význačný vrchol – kořen. Zakořeněním stromu je definována orientace hran: hrany pak vedou směrem od kořene (tato orientace je tak dána u každé hrany, protože strom je acyklický). Dále se definují tyto pojmy:

Potomek určitého vrcholu je každý vrchol, do kterého vede z tohoto vrcholu orientovaná hrana
Vrchol, který nemá potomky, se nazývá list
Větev je (jednoznačně určená) cesta od kořene k listu

Vztahy mezi uzly

Předchůdce a následovník

Uvažujme uzel A v kořenovém stromu, pak libovolný uzel X na jednoznačné cestě od kořene do uzlu A se nazývá „předchůdce“ uzlu A (předek). Uzel ležící na cestě z uzlu A do libovolného listu stromu se nazývá „následovník“ uzlu (potomek).

Rodič a dítě

Bezprostředně následující uzel ve směru z kořene do uzlu se nazývá „dítě“ nebo „syn“ uzlu (anglicky child); uzel bezprostředně předcházející je „rodič“ uzlu (anglicky parent). Kořen stromu nemá rodiče a list stromu nemá žádné syny. Ostatní uzly mohou mít libovolný počet synů.

Vlastnosti

každý strom je bipartitní
každý strom se spočetně mnoha vrcholy je rovinný
kostra libovolného grafu je tvořena stromem
jsou-li $d_{1},d_{2},\ldots ,d_{n}$ stupně jednotlivých vrcholů, existuje na těchto vrcholech ${n-2 \choose d_{1}-1,d_{2}-1,\ldots ,d_{n}-1}$ stromů (včetně těch, které jsou navzájem izomorfní)

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu strom na Wikimedia Commons