Alexander est le fils de Nigel Albon, ancien pilote qui a participé au British Touring Car et à la Porsche Carrera Cup. Sa mère est originaire de Thaïlande.
Il commence le karting en 2005, à l'âge de 8 ans. En 2006, il termine premier au Kartmasters British Grand Prix et participe au championnat Super 1 National Honda Cadet, qu'il termine premier en 2006 et deuxième en 2007. En 2008, il passe à la catégorie KF3 et termine premier du championnat Super 1 National en 2009, puis remporte la Coupe du monde CIK-FIA en 2010 et le championnat européen IK-FIA la même année. En 2011, il passe en KF1 et se classe deuxième de la WSK Euro Series et du Championnat du monde CIK-FIA.
La monoplace
Alexander fait ses débuts en monoplace en 2012, en Eurocup Formula Renault avec le soutien de Red Bull. Son meilleur résultat n'est qu'une dix-septième place. Il participe également au championnat de Formula Renault 2.0 Alps. Il obtient une sixième place à Imola et se classe seizième du championnat avec vingt-six points. Ces résultats décevants lui valent de perdre le parrainage de Red Bull. L'année suivante il s'engage avec KTR sur deux championnats terminant seizième en Eurocup Formula Renault avec une pole position et vingt-deuxième en Formula Renault 2.0 NEC où il décroche un podium.
En 2014, toujours chez KTR, il termine l'Eurocup Formula Renault à la troisième place et remporte une victoire en Formula Renault 2.0 NEC.
En 2015, il rejoint le championnat d'Europe de Formule 3 avec l'écurie Signature. Classé à la septième place du championnat, il signe deux pole positions et cinq podiums. En 2016, Alexander signe chez ART Grand Prix et termine deuxième du championnat GP3 Series avec quatre victoires, trois pole positions et sept podiums à son palmarès. A la veille de la dernière manche à Abou Dhabi, il était toujours en lice pour remporter le titre, mais il est victime d'un accrochage et c'est son équipier, Charles Leclerc, qui est titré.
L'année suivante, toujours chez ART Grand Prix, Alexander passe en F2 et ne décroche que deux podiums, terminant à la dixième place du championnat, remporté par Leclerc. En 2018, il s'engage avec DAMS et, grâce à ses quatre victoires et ses huit podiums, il termine à la troisième place du championnat, derrière George Russell et Lando Norris. Alexander s'engage alors en Formula E avec DAMS, mais il casse ce contrat car il a été choisi par Helmut Marko pour remplacer Brendon Hartley chez Toro Rosso.
En Formule 1
En terminant neuvième lors du Grand Prix de Bahreïn, il est devenu le premier Thaïlandais à marquer des points en Formule 1 depuis la quatrième place du prince Bira au Grand Prix de France 1954. Grâce à ces bons résultats et suite aux performances décevantes de Pierre Gasly au volant de la Red Bull, Helmut Marko décide d'échanger les baquets entre lui et le Français.
Pour les neuf Grand Prix restants, Alexander va en terminer huit dans le top six. Au Grand Prix du Brésil, le Thaïlandais part en sixième position et, alors qu'il est sur le point d'obtenir son premier podium, il est percuté par Hamilton et termine quatorzième. Il se classe huitième pour sa première saison en F1 et est confirmé, sans surprise, chez Red Bull pour la saison 2020.
Alexander commence la saison 2020 avec une quatrième place sur la grille du Grand Prix d'Autriche. A dix tours de l'arrivée, alors que la course est relancée après une période sous Safety Car, il est troisième. Dès la relance, il tente de dépasser Lewis Hamilton par l'extérieur mais la Mercedes l'envoie en tête-à-queue dans les graviers. Alexander va ensuite terminer dans les points lors des six courses suivantes avant de se classer quinzième à Monza, alors que Pierre Gasly, qu'il a remplacé au cours de la saison précédente, remporte la course. La semaine suivante, lors du Grand Prix de Toscane, il prend l'avantage sur Daniel Ricciardo à huit tours de l'arrivée et décroche ainsi son premier podium, derrière les deux Mercedes. Il monte de nouveau sur la troisième marche du podium lors du Grand Prix de Bahreïn. Cependant, la comparaison avec Max Verstappen n'est pas à son avantage. Alors que le Néerlandais termine le championnat à la troisième place (avec onze podiums dont deux victoires), Alexander se classe seulement septième. Fin 2020, Red Bull annonce qu'il est remplacé par Sergio Pérez pour la saison 2021, mais il reste au poste de pilote d'essais et de développement.
Pour la saison 2021, Alexander participe au championnat DTM au volant d'une Ferrari 488 GT3. Il termine ce championnat à la sixième place, avec trois podiums à son actif, dont une victoire sur le Nürburgring.
En 2022, Alexander retrouve un volant en Formule 1 en signant avec Williams, où il remplace George Russell, parti chez Mercedes. L'écurie britannique est toujours en manque de performance et Alexander est souvent éliminé après les Q1. Malgré cela il parvient à marquer un point en Australie, puis deux autres à Miami. En Belgique, il se qualifie à une étonnante sixième place et termine la course à la dixième place. Lors du Grand Prix d'Italie, il est hospitalisé à la suite d'une appendicite et il est remplacé par Nyck de Vries, qui se classe neuvième. Il est néanmoins confirmé par Williams pour les deux saisons suivantes.
Sa saison 2023 commence bien avec une dixième place lors du premier Grand Prix à Bahreïn. Mais elle est suivie de six courses hors points. Grâce à de meilleures qualifications, comme sa quatrième place aux Pays-Bas, la suite de la saison sera plus prolifique en points. Il termine deux fois à la septième place (Canada et Italie), deux fois à la huitième place (Grande-Bretagne et Pays-Bas) et trois fois à la neuvième place. Ces bonnes performances lui permettent de se classer à la treizième place du championnat, tandis que Williams se hisse à la septième place.
Pour sa troisième saison avec Williams, Alexander doit attendre la huitième manche, à Monaco, pour marquer ses premiers points en terminant neuvième. Lors du Grand Prix du Canada, Albon réalise un dépassement spectaculaire. Il déborde Ricciardo par l'extérieur dans la ligne droite, puis Ocon par l'intérieur au freinage. Il termine de nouveau neuvième en Grande-Bretagne et en Italie. Il réalise son meilleur Grand Prix de l'année à Bakou. Il se classe neuvième lors des qualifications, mais derrière Franco Colapinto, son nouveau coéquipier qui remplace Logan Sargeant. Il réalise ensuite une course solide et se classe septième devant Colapinto huitième. Après cette bonne performance, il ne marquera cependant plus aucun point lors des sept derniers Grands Prix.
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