Funkcija (matematika)

Za druge pomene glej funkcija (razločitev).

Fúnkcija $f:A\longrightarrow B$ je v matematiki preslikava, ki vsakemu elementu množice A priredi natanko en element množice B.

Če definiramo funkcijo $f:a\longmapsto b$, je a podatek ali original, b pa je funkcijska vrednost oziroma rezultat ali slika. Funkcijsko zvezo lahko krajše zapišemo $b=f(a)$.

Množico vseh originalov (množico A) imenujemo definicijsko območje funkcije - ${\mathcal {D}}_{f}$, množico vseh slik pa zaloga vrednosti funkcije - ${\mathcal {Z}}_{f}$ (to je v splošnem podmnožica množice B).

Vrste funkcij

Funkcija poveže vsakemu elementu v množici X (vhod oz. podatek) natančno en element v množici Y (izhod oz. rezultat). Dva različna elementa v X imata lahko isti izhod, in ni nujno, da so vsi elementi v Y izhodi

Graf funkcije
${\begin{aligned}&\scriptstyle f\colon [-1,\;1,5]\to [-1,\;1,5]\\&\textstyle x\mapsto {\frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){\sqrt {x+1}}}{3-x}}\end{aligned}}$

Funkcija realne spremenljivke je funkcija, ki ima za podatke realna števila, tj.: ${\mathcal {D}}_{f}\subseteq \mathbb {R}$.

Realna funkcija je funkcija, ki ima za rezultate realna števila, tj.: ${\mathcal {Z}}_{f}\subseteq \mathbb {R}$.

Realna funkcija realne spremenljivke je funkcija, ki ima za podatke in za rezultate realna števila, tj.: ${\mathcal {D}}_{f}\subseteq \mathbb {R} ,~{\mathcal {Z}}_{f}\subseteq \mathbb {R}$.

Izraz funkcija v ožjem pomenu besede pomeni realna funkcija realne spremenljivke, saj ravno takšne funkcije matematika najpogosteje preučuje. Táko funkcijo lahko tudi ponazorimo z grafom v kartezični ravnini - graf funkcije je množica točk $(x,y)$, za katere velja zveza $y=f(x)$.

Izraz funkcija se v matematiki najpogosteje uporablja v ožjem pomenu (realna funkcija realne spremenljivke), vendar pa včasih to besedo uporabljamo tudi v širšem pomenu - za splošnejše preslikave, npr.:

• realne funkcije naravne spremenljivke, ki se imenujejo tudi zaporedja: ${\mathcal {D}}_{f}=\mathbb {N} ,~{\mathcal {Z}}_{f}\subseteq \mathbb {R}$
• kompleksne funkcije kompleksne spremenljivke, ki imajo za podatke in rezultate kompleksna števila: ${\mathcal {D}}_{f}\subseteq \mathbb {C} ,~{\mathcal {Z}}_{f}\subseteq \mathbb {C}$

Značilnosti funkcij

Funkcija $f:A\longrightarrow B$ je:

• injektivna, če vsak par različnih elementov iz množice A preslika v par različnih elementov v množici B;
• surjektivna, če je vsak element iz množice B slika vsaj enega elementa iz množice A;
• bijektivna, če je injektivna in surjektivna hkrati.

Funkcija f je

• soda funkcija, če za vsak x velja: $f(-x)=f(x)\!\,$
• liha funkcija, če za vsak x velja: $f(-x)=-f(x)\!\,$

Funkcija f je na danem intervalu (a, b)

• naraščajoča , če velja: $x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})$
• padajoča, če velja $x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})$.

Ničla funkcije je tam, kjer je $f(a)=0$ oz. kjer se graf funkcije stika z abcisno (vodoravno) osjo.

Glej tudi

• seznam matematičnih funkcij
• preslikava
• transformacija