Niech
M
a
t
n
(
K
)
{\displaystyle \mathrm {Mat} _{n}(K)}
macierzy kwadratowych stopnia
n
{\displaystyle n}
ciałem
K
{\displaystyle K}
rzeczywistych bądź zespolonych . Normą macierzową nazywa się normę określoną na
M
a
t
n
(
K
)
{\displaystyle \mathrm {Mat} _{n}(K)}
podmultiplikatywności ,
‖
A
B
‖
⩽
‖
A
‖
‖
B
‖
,
{\displaystyle \|\mathbf {AB} \|\leqslant \|\mathbf {A} \|\|\mathbf {B} \|,}
dla dowolnych macierzy
A
,
B
∈
M
a
t
n
(
K
)
.
{\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \in \mathrm {Mat} _{n}(K).}
algebrą Banacha . Niekiedy wyrażenie norma macierzowa oznacza dowolne normy macierzy, a nie tylko spełniające powyższy warunek. W szczególności normą macierzową jest wartość bezwzględna albo moduł macierzy (spełnia ona aksjomaty normy i podmultiplikatywności) dane wzorem
|
A
|
=
[
|
a
i
j
|
]
,
{\displaystyle |\mathbf {A} |={\big [}|a_{ij}|{\big ]},}
gdzie
|
a
i
j
|
{\displaystyle |a_{ij}|}
wartości bezwzględnych (modułów ) elementów macierzy.
Niekiedy pierwszy aksjomat normy macierzowej podaje się w formie
‖
A
‖
⩾
0
{\displaystyle \|\mathbf {A} \|\geqslant 0}
|
|
A
|
|
=
0
{\displaystyle ||\mathbf {A} ||=0}
A
=
Θ
.
{\displaystyle \mathbf {A} ={\boldsymbol {\Theta }}.}
Normę nazywa się kanoniczną , jeżeli spełnia ona dodatkowo warunki
|
a
i
j
|
⩽
‖
A
‖
,
{\displaystyle |a_{ij}|\leqslant \|\mathbf {A} \|,}
A
=
[
a
11
]
{\displaystyle \mathbf {A} =[a_{11}]}
‖
A
‖
=
|
a
11
|
,
{\displaystyle \|\mathbf {A} \|=|a_{11}|,}
|
A
|
⩽
|
B
|
{\displaystyle |\mathbf {A} |\leqslant |\mathbf {B} |}
‖
A
‖
⩽
‖
B
‖
,
{\displaystyle \|\mathbf {A} \|\leqslant \|\mathbf {B} \|,}
‖
A
‖
=
‖
|
A
|
‖
.
{\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\big \|}|\mathbf {A} |{\big \|}.}
Jeżeli dane są normy
‖
⋅
‖
m
,
‖
⋅
‖
n
{\displaystyle \|\cdot \|_{m},\|\cdot \|_{n}}
przestrzeniach współrzędnych
K
m
{\displaystyle K^{m}}
K
n
,
{\displaystyle K^{n},}
K
∈
{
R
,
C
}
,
{\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \},}
normę indukowaną lub normę operatorową na przestrzeni macierzy typu
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
‖
A
‖
=
max
‖
x
‖
n
⩽
1
{
‖
A
x
‖
m
:
x
∈
K
n
}
=
max
‖
x
‖
n
=
1
{
‖
A
x
‖
m
:
x
∈
K
n
}
=
max
x
≠
0
{
‖
A
x
‖
m
‖
x
‖
n
:
x
∈
K
n
}
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\|\mathbf {A} \|&=\max _{\|\mathbf {x} \|_{n}\leqslant 1}{\big \{}\|\mathbf {Ax} \|_{m}\colon \mathbf {x} \in K^{n}{\big \}}\\&=\max _{\|\mathbf {x} \|_{n}=1}{\big \{}\|\mathbf {Ax} \|_{m}\colon \mathbf {x} \in K^{n}{\big \}}\\&=\max _{\mathbf {x} \neq \mathbf {0} }\left\{{\tfrac {\|\mathbf {Ax} \|_{m}}{\|\mathbf {x} \|_{n}}}\colon \mathbf {x} \in K^{n}\right\}.\end{aligned}}}
Jeżeli
m
=
n
{\displaystyle m=n}
norma operatorowa jest normą macierzową (tzn. jest podmultiplikatywna).
Przykładowo norma operatorowa odpowiadająca
p
{\displaystyle p}
‖
A
‖
p
=
max
x
≠
0
‖
A
x
‖
p
‖
x
‖
p
.
{\displaystyle \|\mathbf {A} \|_{p}=\max _{\mathbf {x} \neq \mathbf {0} }{\tfrac {\|\mathbf {Ax} \|_{p}}{\|\mathbf {x} \|_{p}}}.}
W szczególności normy
‖
A
‖
1
=
max
j
∑
i
|
a
i
j
|
,
{\displaystyle \|\mathbf {A} \|_{1}=\max _{j}\sum _{i}|a_{ij}|,}
‖
A
‖
∞
=
max
i
∑
j
|
a
i
j
|
{\displaystyle \|\mathbf {A} \|_{\infty }=\max _{i}\sum _{j}|a_{ij}|}
są uogólnieniem pierwszej normy wektorowej oraz normy „nieskończoność”.
edytuj
Normę
‖
A
‖
sp
=
max
{
|
λ
|
:
λ
∈
sp
(
A
⋆
A
)
}
,
{\displaystyle \|\mathbf {A} \|_{\operatorname {sp} }={\sqrt {\max {\big \{}|\lambda |\colon \lambda \in \operatorname {sp} (\mathbf {A} ^{\star }\mathbf {A} ){\big \}}}},}
A
⋆
{\displaystyle A^{\star }}
macierz hermitowską (transponowaną dla macierzy o współczynnikach rzeczywistych)gdzie
sp
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {sp} (\mathbf {A} )}
widmem (spektrum) macierzy
A
,
{\displaystyle \mathbf {A} ,}
normą spektralną .
Dla dowolnej normy indukowanej
‖
⋅
‖
{\displaystyle \|\cdot \|}
‖
A
‖
⩾
ϱ
(
A
)
,
{\displaystyle \|\mathbf {A} \|\geqslant \varrho (\mathbf {A} ),}
gdzie
ϱ
(
A
)
{\displaystyle \varrho (\mathbf {A} )}
promieniem spektralnym
A
;
{\displaystyle \mathbf {A} ;}
co więcej,
lim
r
→
∞
‖
A
r
‖
r
=
ϱ
(
A
)
.
{\displaystyle \lim _{r\to \infty }~{\sqrt[{r}]{\|\mathbf {A} ^{r}\|}}=\varrho (\mathbf {A} ).}
edytuj
W normach tego rodzaju macierze traktowane są jako wektory typu
m
×
n
{\displaystyle m\times n}
Przykładowo korzystając z
p
{\displaystyle p}
‖
A
‖
p
=
(
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
|
a
i
j
|
p
)
1
/
p
.
{\displaystyle \|\mathbf {A} \|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|^{p}\right)^{1/p}.}
Choć normy te mają to samo oznaczenie, różnią się od wyżej zdefiniowanych
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
Szczególnymi przypadkami dla
p
=
2
{\displaystyle p=2}
norma Frobeniusa , a dla
p
=
∞
{\displaystyle p=\infty }
norma maksimum .
Bezpośrednie uogólnienie normy euklidesowej. Norma Frobeniusa lub norma Hilberta-Schmidta przestrzeniach Hilberta ) definiowana jest według wzoru
‖
A
‖
F
=
⟨
A
,
A
⟩
=
tr
(
A
⋆
A
)
=
∑
|
a
i
j
|
2
,
{\displaystyle \|\mathbf {A} \|_{F}={\sqrt {\langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle }}={\sqrt {\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\star }\mathbf {A} )}}={\sqrt {\sum |a_{ij}|^{2}}},}
gdzie
tr
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )}
śladem macierzy
A
,
{\displaystyle \mathbf {A} ,}
i
,
j
,
{\displaystyle i,j,}
A
⋆
=
A
¯
T
{\displaystyle \mathbf {A} ^{\star }={\overline {\mathbf {A} }}^{\operatorname {T} }}
sprzężenie hermitowskie macierzy (transpozycję jej trywialnego sprzężenia ).
Nazwa pochodzi od nazwiska Ferdinanda Georga Frobeniusa , matematyka niemieckiego . Norma ta jest bezpośrednim uogólnieniem normy euklidesowej wektorów, czyli macierzy jednokolumnowych .
Norma maksimum to norma brana „po współrzędnych” dla
p
=
∞
:
{\displaystyle p=\infty {:}}
‖
A
‖
max
=
max
{
|
a
i
j
|
}
.
{\displaystyle \|\mathbf {A} \|_{\text{max}}=\max {\big \{}|a_{ij}|{\big \}}.}
Norma ta nie jest podmultiplikatywna.