Pirâmide

Uma pirâmide é um sólido geométrico formado pela reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em um ponto fixo $V$ e outra num polígono dado sobre um plano fixo $\alpha$ que não contém $V$ .^[1] Como exemplos das pirâmides da geometria espacial temos as pirâmides do Egito,^[2] uma das sete maravilhas do mundo antigo.

Definição

Ilustração da definição de pirâmide.

Uma pirâmide é a reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em um ponto fixo $V$ (vértice) e outra sobre um polígono (base) pertencente a um plano que não contém $V$ .^[1]^[2] Equivalentemente, é um poliedro com uma face poligonal (base) e demais faces triangulares (faces laterais), as quais tem exatamente um ponto em comum (vértice).^[3]

Em alguns textos, o termo pirâmide é usado de forma mais abrangente, significando a reunião de todas as semirretas que tem origem em um ponto fixo $V$ e que passam por uma região poligonal que não contém $V$ . Isto é, também, conhecido como pirâmide ilimitada. Quando a região poligonal é convexa, também usamos os termos ângulo poliédrico ou ângulo sólido.^[1]

Tetraedro.

Pirâmide quadrangular.

Classificação

Uma pirâmide é dita ser convexa quando sua base é um polígono convexo.^[1] É dita ser reta quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano que contém sua base é o centro da base. Adicionalmente, uma pirâmide é dita ser regular quando é reta e o polígono da base é regular. Uma pirâmide que não é reta é dita ser oblíqua.^[3]

Pirâmides também são classificadas quanto a sua natureza.^[1] Uma pirâmide de base triangular é chamada de pirâmide triangular (ou tetraedro). Caso a base seja um quadrilátero, a pirâmide é dita ser quadrangular. Analogamente, definimos as pirâmides pentagonal, hexagonal, etc.^[2]

Elementos

Ilustração de alguns elementos de uma pirâmide. Altura

h

, apótema da base

a_{b}

e apótema lateral

a_{l}

.

Os seguintes elementos são comumente identificados em uma pirâmide:^[1]^[2]

base - região poligonal que contém as extremidades opostas de todos os segmentos de reta que partem do vértice e pertencem a pirâmide.
face lateral - qualquer triângulo de vértices $V$ e dois vértices consecutivos da base.
aresta lateral - qualquer segmento de reta com uma extremidade em $V$ e outro em um vértice da base.
aresta da base - qualquer lado do polígono da base.
diedros - reunião de duas faces laterais consecutivas.
vértices - $V$ ou qualquer vértice da base.
triedros - reunião de duas faces laterais consecutivas com a base.

Altura e Apótema

A altura de uma pirâmide é a distância $h$ entre o vértice e o plano da base. Se a pirâmide for reta, então $h$ é igual à distância do centro da base ao vértice da pirâmide.^[1]^[2]

No caso de uma pirâmide regular, chama-se de apótema lateral a altura de qualquer de uma de suas faces laterais. Apótema da base é a apótema do polígono regular que forma a base da pirâmide.^[1]

Área da superfície

A superfície (ou superfície total) de uma pirâmide é a união de todas as suas faces. A união somente das faces laterais é chamada de superfície lateral. Desta forma, a área da superfície lateral é a soma das áreas dos triângulos que a formam. A área da superfície total é a área da superfície lateral somada a área da base da pirâmide.^[1]

No caso de uma pirâmide regular, podemos verificar diretamente que a área da superfície lateral é dada por:

$A_{l}=n{\frac {ba_{l}}{2}}$

onde, $n$ é o número de arestas do polígono da base, $b$ é o comprimento de uma aresta da base e $a_{l}$ é o comprimento da apótema lateral da pirâmide. Segue que a área da superfície total da pirâmide é dada por:

$A_{t}=A_{b}+A_{l}$ ,

onde, $A_{b}$ é a área de sua base.

Volume

Volume de um tetraedro

Tetraedro e o prisma associado.

O volume de um tetraedro é dado por:

$V={\frac {A_{b}\cdot h}{3}}$

onde, $A_{b}$ é a área de sua base e $h$ é sua altura.

Com efeito, todo tetraedro pode ser unido a dois tetraedros congruentes formando um prisma de área da base $A_{b}$ e altura $h$ . Ou seja, o volume do tetraedro é um terço do volume do prisma formado.^[1]^[4]

Volume de uma pirâmide

O volume de uma pirâmide qualquer é dado por:^[3]^[5]^[4]

$V={\frac {A_{b}\cdot h}{3}}$

onde, $A_{b}$ é a área de sua base e $h$ é sua altura. De fato, toda pirâmide pode ser particionada em um conjunto finito de tetraedros de vértice igual ao da pirâmide e cujas bases pertencem à base da mesma.

Ver também

Referências

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j Dolce, Osvaldo Pompeo (2013). Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 10 7 ed. [S.l.]: Atual. ISBN 9788535717587
↑ ^a ^b ^c ^d ^e JULIANI, Kleber Sebastião. Geometria Espacial:uma visão do espaço para a vida. 2008. Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2008.
↑ ^a ^b ^c Weisstein, Eric W. «Pyramid -- from MathWorld -- A Wolfram Web Resource». Consultado em 7 de novembro de 2014
↑ ^a ^b Lima, Elon Lages (2006). A matemática do ensino médio - volume 2 6 ed. [S.l.]: SBM. ISBN 8585818115
↑ MACHADO, Paulo Antônio Fonseca. Fundamentos de Geometria Espacial. Universidade Federal de Minas Gerais, 2013.

Ligações externas

Commons

O Commons possui imagens e outros ficheiros sobre Pirâmide

[:0-1] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j Dolce, Osvaldo Pompeo (2013). Fundamentos de Matemática Elementar - Vol. 10 7 ed. [S.l.]: Atual. ISBN 9788535717587

[:2-2] JULIANI, Kleber Sebastião. Geometria Espacial:uma visão do espaço para a vida. 2008. Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2008.

[:1-3] Weisstein, Eric W. «Pyramid -- from MathWorld -- A Wolfram Web Resource». Consultado em 7 de novembro de 2014

[:3-4] Lima, Elon Lages (2006). A matemática do ensino médio - volume 2 6 ed. [S.l.]: SBM. ISBN 8585818115

[5] MACHADO, Paulo Antônio Fonseca. Fundamentos de Geometria Espacial. Universidade Federal de Minas Gerais, 2013.

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