Matriz nilpotente

Em álgebra linear, uma matriz nilpotente é uma matriz quadrada N tal que

$$N^{k}=0$$

para algum número inteiro positivo $k.$ O menor valor $k$ satisfazendo a condição anterior é chamado de índice de $N,$ e às vezes de grau de $N.$

Mais geralmente, uma transformação nilpotente é uma transformação linear $L$ de um espaço vetorial tal que $L^{k}=0$ para algum número inteiro positivo $k$ (e assim, $L^{j}=0$ para todo $j\geq k$) Ambos os conceitos são casos especiais de um conceito mais geral de nilpotência que se aplica a elementos de anéis.

Exemplos

Exemplo 1

A matriz

$$A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$$

é nilpotente com índice 2, uma vez que$A^{2}=0.$

Exemplo 2

Mais geralmente, qualquer matriz triangular de ordem $n$ com zeros ao longo da diagonal principal é nilpotente, com índice $\leq n.$ Por exemplo, a matriz

$$B={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$$

é nilpotente, com

$$B^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ :B^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ :B^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.$$

O índice de $B$ é, portanto, igual 4.

Exemplo 3

Embora os exemplos acima tenham um grande número de entradas nulas, uma matriz nilpotente típica não tem. Por exemplo,

$$C={\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{bmatrix}}\qquad C^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$$

embora a matriz não tenha entradas nulas.

Exemplo 4

Além disso, quaisquer matrizes da forma

$${\begin{bmatrix}a_{1}&a_{1}&\cdots &a_{1}\\a_{2}&a_{2}&\cdots &a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&\ldots &-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}\end{bmatrix}}$$

$${\begin{bmatrix}5&5&5\\6&6&6\\-11&-11&-11\end{bmatrix}}$$

ou

$${\begin{bmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\4&4&4&4\\-7&-7&-7&-7\end{bmatrix}}$$

têm quadrado nulo.

Exemplo 5

Talvez alguns dos exemplos mais marcantes de matrizes nilpotentes sejam as matrizes quadradas $n\times n$ da forma:

$${\begin{bmatrix}2&2&2&\cdots &1-n\\n+2&1&1&\cdots &-n\\1&n+2&1&\cdots &-n\\1&1&n+2&\cdots &-n\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \end{bmatrix}}$$

As primeiras de tais matrizes são as seguintes:

$${\begin{bmatrix}2&-1\\4&-2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&-2\\5&1&-3\\1&5&-3\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&-3\\6&1&1&-4\\1&6&1&-4\\1&1&6&-4\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&2&-4\\7&1&1&1&-5\\1&7&1&1&-5\\1&1&7&1&-5\\1&1&1&7&-5\end{bmatrix}}\qquad \ldots$$

Essas matrizes são nilpotentes, mas não há qualquer entrada nula em nenhuma potência com expoente menor do que o índice.

Caracterização

Para uma matriz $N$ quadrada, de ordem $n\times n,$ com entradas reais (ou complexas), as seguintes afirmações são equivalentes:

• $N$é nilpotente.
• O polinômio característico de $N$ é$\det \left(xI-N\right)=x^{n}.$
• O polinômio minimal de $N$ é $x^{k}$ para algum número inteiro positivo $k\leq n.$
• O único autovalor complexo de $N$ é 0.
• tr(N^k) = 0 para todo $k>0.$

O último teorema é verdadeiro para matrizes sobre qualquer corpo de característica 0, ou de característica suficientemente grande. (cf. Identidades de Newton)

Este teorema tem várias consequências, incluindo:

• O índice de um$n\times n$ matriz nilpotente de ordem n é sempre menor ou igual a$n$ n. Por exemplo, toda matriz nilpotente de ordem $2\times 2$ tem quadrado nulo.
• O determinante e o traço de uma matriz nilpotente são sempre zero. Consequentemente, uma matriz nilpotente não pode ser invertida.
• A única matriz diagonalizável nilpotente é a matriz nula.

Classificação

Considere a matriz de deslocamento:

$$S={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.$$

Essa matriz tem 1s ao longo da superdiagonal e 0s em todas as outras entradas. Como uma transformação linear, a matriz de deslocamento "desloca" os componentes de um vetor uma posição para a esquerda, com um zero aparecendo na última posição:

$$S(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(x_{2},\ldots ,x_{n},0).$$

Esta matriz é nilpotente com grau $n$, e é a matriz nilpotente canônica.

Especificamente, se $N$ é qualquer matriz nilpotente, então $N$ é semelhante a uma matriz diagonal em blocos da forma

$${\begin{bmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{bmatrix}}$$

em que cada um dos blocos $S_{1},S_{2},\ldots ,S_{r}$ é uma matriz de deslocamento (possivelmente de tamanhos diferentes). Essa forma é um caso especial da forma canônica de Jordan para matrizes.

Por exemplo, qualquer matriz nilpotente não nula de ordem 2 × 2 é semelhante à matriz

$${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.$$

Em outras palavras, se $N$ é qualquer matriz 2 × 2 nilpotente não nula, então existe uma base b₁, b_{2 de} modo que Nb₁ = 0 e Nb₂ = b₁ .

Este teorema de classificação vale para matrizes sobre qualquer corpo. (Não é necessário que o corpo seja algebricamente fechado.)

Bandeira de subespaços

Uma transformação nilpotente $L$ em $\mathbb {R} ^{n}$ determina naturalmente uma bandeira de subespaços

$$\{0\}\subset \ker L\subset \ker L^{2}\subset \ldots \subset \ker L^{q-1}\subset \ker L^{q}=\mathbb {R} ^{n}$$

e uma assinatura

$$0=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{q-1}<n_{q}=n,\qquad n_{i}=\dim \ker L^{i}.$$

A assinatura caracteriza $L$ salvo por uma transformação linear invertível. Além disso, ela satisfaz as desigualdades

$$n_{j+1}-n_{j}\leq n_{j}-n_{j-1},\qquad {\mbox{para todo }}j=1,\ldots ,q-1.$$

Reciprocamente, qualquer sequência de números naturais que satisfaça essas desigualdades é a assinatura de alguma transformação nilpotente.

Propriedades adicionais

• Se $N$ é nilpotente, então $I+N$ e $I-N$ são invertíveis, onde $I$ é a matriz identidade. Os inversos são dados por$${\begin{aligned}(I+N)^{-1}&=\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\left(-N\right)^{m}=I-N+N^{2}-N^{3}+N^{4}-N^{5}+N^{6}-N^{7}+\cdots ,\\(I-N)^{-1}&=\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }N^{m}=I+N+N^{2}+N^{3}+N^{4}+N^{5}+N^{6}+N^{7}+\cdots \\\end{aligned}}$$Desde que $N$ seja nilpotente, ambas as somas convergem, visto que apenas um número finito de termos é diferente de zero.
• Se $N$ é nilpotente, então $$\det(I+N)=1,$$ em que $I$ denota a $n\times n$matriz identidade. Por outro lado, se $A$ é uma matriz e $$\det(I+tA)=1$$ para todos os valores de $t,$ então$A$ é nilpotente. Na verdade, como $p(t)=\det(I+tA)-1$ é um polinômio de grau$n$ n, é suficiente que isso valha para $n+1$ valores distintos de $t.$
• Toda matriz singular pode ser escrita como um produto de matrizes nilpotentes.
• Uma matriz nilpotente é um caso especial de uma matriz convergente.

Generalizações

Um operador linear $T$ é localmente nilpotente se para cada vetor $v,$ existe algum $k\in \mathbb {N}$ tal que

$$T^{k}(v)=0.$$

Para operadores em um espaço vetorial de dimensão finita, a nilpotência local é equivalente à nilpotência.

Referências

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, ISBN 0-395-14017-X, Boston: Houghton Mifflin Co. 
• Herstein, I. N. (1975), Topics In Algebra 2nd ed. , John Wiley & Sons 
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory 2nd ed. , New York: Wiley 

Ligações externas

• Nilpotent matrix e nilpotent transformation no PlanetMath (em inglês)