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楕円体（c>b>aの場合） gnuplot による楕円体の描画例楕円体 （だえんたい、ellipsoid）とは楕円 を三次元へ拡張したような図形 であり、その表面は二次曲面 である。楕円面の方程式 は
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}
である。ここで a , b , c はそれぞれx軸、y軸、z軸方向の径 の半分の長さに相当する。なお a = b = c である楕円体は球 である。また a , b , c のうちいずれか2つが等しい楕円体は楕円の軸を中心に楕円を回転して得られる回転体 であり、長軸を回転軸にしたものを長球 、短軸を回転軸にしたものを扁球 といい、併せて回転楕円体 と呼ばれる。楕円体は球と同様にxy平面、yz平面、zx平面に関して対称 である。
楕円面の媒介変数表示 は極座標系 を用いると
x
=
a
sin
θ
cos
φ
y
=
b
sin
θ
sin
φ
z
=
c
cos
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sin \theta \cos \varphi \\y&=b\sin \theta \sin \varphi \\z&=c\cos \theta \end{aligned}}}
0
≤
θ
≤
π
,
0
≤
φ
<
2
π
{\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi ,\quad 0\leq \varphi <2\pi }
と表される。楕円体の体積 V は
V
=
4
3
π
a
b
c
{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc}
である。表面積 S は
S
=
2
π
(
c
2
+
b
a
2
−
c
2
E
(
o
ε
,
m
)
+
b
c
2
a
2
−
c
2
F
(
o
ε
,
m
)
)
{\displaystyle S=2\pi \left(c^{2}+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(o\!\varepsilon ,m)+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(o\!\varepsilon ,m)\right)}
となる。
o
ε
{\displaystyle o\!\varepsilon }
m
=
b
2
−
c
2
b
2
sin
2
o
ε
{\displaystyle m={\frac {b^{2}-c^{2}}{b^{2}\sin ^{2}o\!\varepsilon }}}
E
(
o
ε
,
m
)
{\displaystyle E(o\!\varepsilon ,m)}
F
(
o
ε
,
m
)
{\displaystyle F(o\!\varepsilon ,m)}
楕円積分 である。近似式で
S
≈
4
π
(
a
p
b
p
+
a
p
c
p
+
b
p
c
p
3
)
1
/
p
{\displaystyle S\approx 4\pi \!\left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{1/p}}
という公式が知られている。ここでpは定数で、p = 1.6075 のとき誤差 は最大でも1.061%である。
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