Decadimento esponenziale

Una quantità è soggetta a decadimento esponenziale se diminuisce a una velocità proporzionale al suo valore corrente

Una quantità è soggetta a decadimento esponenziale se diminuisce a una velocità proporzionale al suo valore corrente.

Rappresentazione grafica di decadimenti con costanti di tempo di 25, 5, 1, 1/5, e 1/25.

Equazione del decadimento esponenziale

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Data una quantità il cui valore è N(t) al tempo t, il decadimento esponenziale in funzione del tempo è espresso dall'equazione differenziale

 

dove λ è un numero detto costante di decadimento. La soluzione di questa equazione è:[1]

 

dove   è la quantità al tempo  , e   è la quantità iniziale, al tempo  .

In alternativa si può scrivere

 

dove:

 

è detta costante di tempo ed è il tempo necessario a ridurre la quantità iniziale di circa il 63,21%.

L'equazione che descrive il decadimento esponenziale si può scrivere

 

integrando si ottiene

 

dove C è la costante di integrazione, e quindi

 

dove la sostituzione finale   è ottenuta valutando l'equazione al tempo  . Inoltre λ è l'autovalore dell'operatore differenziale con   la relativa autofunzione. Il decadimento si misura in s−1.

Concetti derivati

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Vita media

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Dato un insieme di elementi, il cui numero decresce col tempo fino a diventare nullo, la vita media   è il valore atteso del tempo che un elemento resta nell'insieme prima di esserne rimosso.

Data la quantità di elementi

 

si ha:

 

con c costante di normalizzazione:

 

Si nota che il decadimento esponenziale è un multiplo della distribuzione esponenziale, che ha un valore atteso ben noto. Usando l'integrazione per parti:

 

Decadimento in più fasi

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Una quantità può decadere passando per due o più processi contemporaneamente, che in generale hanno differenti probabilità di verificarsi. Il valore di N è dato dalla somma dei possibili percorsi, e nel caso di due processi:

 

La soluzione è data nel paragrafo precedente, dove la somma dei   è trattata come una nuova costante di decadimento totale  .

 

Dal momento che  :

 
 

Tempo di dimezzamento

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Un parametro caratteristico del decadimento esponenziale è il tempo di dimezzamento, definito come il tempo occorrente per ridurre la quantità del 50%. Esso è legato alla costante di tempo dalla formula:

 

La formula si ricava partendo dalla legge del decadimento radioattivo:

 

Definendo   in tempo in cui il numero   si dimezza, si pone:

 

Esplicitando   si ottiene la formula del tempo di dimezzamento.

Nel caso di due processi si ha

 

dove   è il tempo di dimezzamento del primo processo, e   del secondo.

Nel caso di tre processi, infine:

 

Applicazioni nelle scienze naturali

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  1. ^ Giorgio Bendiscioli, Fenomeni radioattivi, Springer, ISBN 978-88-470-5452-3. p. 5
  2. ^ Mazzoldi Paolo, Nigro Massimo, Voci Cesare, Fisica (Volume II), EdiSES, ISBN 88-7959-152-5. p. 188-190

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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