Ugrás a tartalomhoz

Lineáris függetlenség

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Lineáris összefüggőség szócikkből átirányítva)
Lineárisan független vektorok az ℝ3 vektortérben
Lineárisan összefüggő vektorok az ℝ3 vektortér egy síkjában

A lineáris algebrában vektorok egy halmazát lineárisan függetlennek nevezzük, ha egyikük sem fejezhető ki a többi vektor lineáris kombinációjaként. Ellenkező esetben lineárisan összefüggő vektorokról beszélünk.

Például a háromdimenziós euklidészi térben az , és vektorok lineárisan függetlenek. Ellenben az , és vektorok lineárisan összefüggők, ami többféleképpen is megmutatható:

  • A harmadik vektor az első két vektor összege.
  • Az első vektor előáll a harmadik és a második vektor különbségeként.
  • A második vektor előáll a harmadik és a második különbségeként.
  • A nullvektor előáll, ha a harmadik vektorból kivonjuk az első két vektor összegét.

Szintén lineárisan összefüggők az , és vektorok, habár a harmadik vektor nem áll elő az első két vektor lineáris kombinációjaként. Az összefüggés azért áll fenn, mert .

Definíció

[szerkesztés]

V egy tetszőleges F test feletti vektortér.
A v1,…,vnV vektorok lineárisan függetlenek, ha lineáris kombinációjuk csak úgy lehet a nullvektor, ha mindegyik λi=0. Azaz

Végtelen sok vektor lineáris függetlenségén azt értjük, hogy közülük bármely véges sok lineárisan független.
A v1,…,vnV vektorok lineárisan összefüggőek, ha lineárisan nem függetlenek, tehát

nem mind nulla skalár, vagyis legalább egy közülük nem nulla, hogy

Megjegyzés: A jobb oldalon nem az F-beli nullelem, hanem a nullvektor szerepel.

A fogalmat használják vektorterek tetszőleges részhalmazaira is használják. Egy vektortér egy részhalmaza lineárisan független, ha az halmaz összes különböző vektorokból álló vektorpárja lineárisan független. Figyeljünk a következő különbségre: Ha lineárisan független család, akkor nyilván lineárisan összefüggő család. Ezzel szemben az halmaz lineárisan független.

Tulajdonságok

[szerkesztés]
  1. Egy lineárisan független rendszerből tetszőleges vektort elhagyva is lineárisan független rendszert kapunk.
  2. Lineárisan független vektorcsalád minden részcsaládja lineárisan független.
  3. Egy lineárisan összefüggő rendszerhez tetszőleges vektort hozzávéve is lineárisan összefüggő rendszerhez jutunk.
  4. Bármely vektorcsalád, ami tartalmaz lineárisan összefüggő vektorcsaládot, szintén lineárisan összefüggő.
  5. Legalább kételemű vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan összefüggő, ha létezik olyan vektor benne, mely előáll a többi vektor lineáris kombinációjaként.
  6. Ha egy lineárisan független rendszerhez egy vektort hozzávéve összefüggő rendszert kapunk, akkor az utólag hozzávett vektor előáll az eredeti vektorok lineáris kombinációjaként.
  7. Ha egy v vektor előáll a v1,…,vn vektorok lineáris kombinációjaként, akkor ez az előállítás akkor és csak akkor egyértelmű, ha v1,…,vn lineárisan függetlenek.
  8. Egy fölötti vektortér elemeiből képzett család pontosan akkor lineárisan független, ha a lineáris leképezés magtere .
  9. A vektorok lineáris függetlenek, ha egyikük sem áll elő a többi lineáris kombinációjaként. Ez a tulajdonság nem vihető át gyűrű fölötti modulusra.
  10. Az előző állítás egy változata az összefüggési lemma: Ha lineárisan függetlenek, de lineárisan összefüggők, akkor előáll lineáris kombinációjaként.
  11. A vektorok elemi átalakításai nem változtatnak a lineáris függetlenségen vagy összefüggésen.
  12. Ha az egyik nullvektor (legyen ez ), akkor a család lineárisan összefüggő. Ez beláthat úgy, hogy a lineáris kombinációban minden együttható nulla, kivéve az együtthatót, ami tetszőleg, nullától különböző szám.
  13. Ha a vektortér dimenziója , akkor minden -nél több elemű vektorból álló család lineárisan összefüggő.

Bizonyítás determinánssal

[szerkesztés]

Adva legyen egy dimenziós vektortér egy rögzített bázissal! Ekkor, ha adva van vektor a bázisban, akkor lineáris függésük eldönthető úgy, hogy oszlop-vagy sorvektorként betesszük őket egy mátrixba, és eldöntjük, hogy a mátrix determinánsa nulla-e. Ha a determináns nulla, akkor lineárisan összefüggők, különben lineárisan függetlenek.

Vektortér bázisa

[szerkesztés]

Vektorterekben a bázisok lineárisan független generátorrendszerek. A bázisok lehetővé teszik, hogy véges dimenziós terekben koordinátákkal írjuk le a vektorokat és a lineáris transzformációkat, így könnyebben tudunk velük számolni.

Példák

[szerkesztés]
  • Az és vektorok lineárisan függetlenek, mert egy síkot definiálnak.
  • Az , és vektorok lineárisan összefüggőek, mivel egy síkban fekszenek.
  • Az és vektorok lineárisan összefüggnek, mivel párhuzamosak egymással.
  • A és a vektorok lineárisan összefüggnek, mivel .
  • Az , és vektorok lineárisan függetlenek, mivel és lineárisan független, és nem áll elő a két vektor lineáris kombinációjaként, illetve nem esik az általuk meghatározott síkba. Ezek a vektorok egy háromdimenziós teret határoznak meg.

Egyetlen vektor

[szerkesztés]

Legyen vektortér a test fölött! Ekkor a vektor akkor és csak akkor alkot lineárisan független halmazt, vagy családot, ha különbözik a nullvektortól.

Mivelhogy

, ahol ,

csak vagy esetén lehet igaz.

Síkvektorok

[szerkesztés]

Az és síkvektorok lineárisan függetlenek -ben.

Legyen ugyanis , ekkor

így


Ekkor

tehát

Ennek az egyenletrendszernek az egyedüli megoldása , , azaz a triviális megoldás. Emiatt és lineárisan független.

Standard bázis

[szerkesztés]

A kanonikus egységvektorok lineárisan függetlenek -ben, ahol:

Bizonyítás:

Legyenek úgy, hogy

Ekkor azonban

innen minden esetén.

Függvények

[szerkesztés]

Legyen a függvények vektortere! Ekkor és lineárisan független -ben.

Bizonyítás: Legyenek úgy, hogy

minden -re. Ha szerint deriválunk, akkor a következő egyenletet kapjuk:

.

Kivonva a második egyenletet az elsőből:

.

Mivel az egyenlőség teljhesül minden -re, így a helyettesítéssel kapjuk, hogy . Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe adódik, hogy:

.

Innen következik, hogy esetén kell, hogy legyen. Mivel az egyenletrendszernek csak a triviális megoldása létezik, azért és lineárisan független -ben.

Legyen a valós értékű, folytonos függvények vektortere! Ekkor teljesül, hogy

azonban lineárisan függetlenek. Ennek az az oka, hogy hatványai polinomok, és nem általános hatványsorok, így 1 környezetében korlátosak, tehát nem áll elő a hatványok lineáris kombinációjaként.

Mátrix sorai és oszlopai

[szerkesztés]

Érdekes az a kérdés is, hogy egy mátrix sorai vagy oszlopai lineárisan függetlenek-e. Itt a sorokat vagy az oszlopokat vektoroknak tekintjük. A négyzetes mátrix az érdekesebb eset, hiszen ha egy vektorcsalád több elemet tartalmaz, mint amennyi dimenziós, akkor lineárisan összefüggő; így ha egy mátrix nem négyzetes, akkor vagy sorai, vagy oszlopai lineárisan összefüggnek. Ha egy négyzetes mátrix sorai lineárisan függetlenek, akkor oszlopai is; a mátrix determinánsa különbözik nullától és invertálható. Ezeket a mátrixokat regulárisnak nevezik. Ellenkező esetben a sorok lineárisan összefüggnek, így az oszlopok is; a mátrix determinánsa egyenlő nullával, és nem invertálható. Ezek a mátrixok szingulárisak.

Racionális függetlenség

[szerkesztés]

A valós számoknak az a halmaza, melyek mint együtthatók lineárisan függetlenek a racionális számok fölött, racionálisan függetlenek, összemérhetetlenek vagy inkommenzurábilisak. Például racionálisan független, míg racionálisan összefüggő.

Általánosítások

[szerkesztés]

A lineáris függetlenség analóg módon definiálható modulusok elemein. Ebben az összefüggésben a lineárisan független családokat szabadnak is nevezik (lásd még: szabad modulus).

A lineáris függetlenség tovább általánosítható halmazokra, lásd még: matroid.

Források

[szerkesztés]

Fordítás

[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Lineare Unabhängigkeit című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Lásd még

[szerkesztés]