Módusz
A módusz egy sorozat (általában egy statisztikai minta értékei) leggyakrabban előforduló eleme.
A statisztikai középérték-mutatók (medián, módusz, számtani közép, harmonikus közép, mértani közép, négyzetes közép) egyike, amely fontos információt hordoz egy valószínűségi változóról illetve egy statisztikai sokaságról egyetlen értékben. A módusz általában különbözik az átlagtól és a mediántól, továbbá lényegesen eltérhet azoktól erősen aszimmetrikus eloszlások esetén.
A módusz nem feltétlenül egyértelmű, mivel ugyanazt a maximum gyakoriságot több különböző érték is elérheti. A legszélsőségesebb esetek az úgynevezett egyenletes eloszlások, ahol minden érték egyformán valószínű.
A kifejezés egyaránt használatos a matematikában a valószínűség-eloszlásoknál és a statisztikai mintáknál, valamint a fizikában.
Valószínűségi változó módusza
szerkesztésA „legdivatosabb”, legvalószínűbb érték: egy folytonos valószínűség-eloszlás jellemző adata: olyan pont, ahol az eloszlás sűrűségfüggvényének lokális maximuma van. Egy eloszlásnak tehát több módusza is lehet. Az egyetlen móduszú (unimodális) eloszlások esetében a móduszt az eloszlás centrumát jellemző adatként használjuk. – Szimmetrikus unimodális eloszlások esetében a módusz megegyezik a mediánnal és a várható értékkel is, feltéve, hogy ez létezik. Aszimmetrikus eloszlásoknál hasznos lehet a módusz, a medián és a várható érték relatív helyzetének mint az eloszlás jellemző tulajdonságának vizsgálata.
Statisztikai minta módusza
szerkesztésA módusz – a számtani középhez és a mediánhoz hasonlóan – helyzeti középérték. A módusz nem mindig határozható meg és nem is mindig létezik.
Diszkrét valószínűségi változóból származó minta esetén
szerkesztésA minta leggyakrabban előforduló értéke vagy értékei.
Például
szerkesztésEgy folyamatos üzemben feljegyezték az óránkénti gépleállások számát 24 órán keresztül és a következő értékeket kapták:
Óra | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Leállások száma | 5 | 3 | 1 | 2 | 0 | 3 | 4 | 5 | 2 | 6 | 1 | 1 | 4 | 0 | 2 | 3 | 2 | 0 | 2 | 3 | 1 | 4 | 1 | 6 |
Az áttekinthetőség végett a fenti értékeket egy gyakorisági táblázatba rendezve láthatjuk, hogy két érték is szerepel móduszként: az óránkénti gépleállások száma 5 alkalommal volt 1 és 5 alkalommal 2, tehát mindkét érték móduszként szerepel, vagy másként a módusz nem határozható meg egyértelműen.
leállások száma óránként |
az előfordulások gyakorisága (fi) |
relatív gyakoriság (gi) |
---|---|---|
0 | 3 | 0,125 |
1 | 5 | 0,208 |
2 | 5 | 0,208 |
3 | 4 | 0,168 |
4 | 3 | 0,125 |
5 | 2 | 0,083 |
6 | 2 | 0,083 |
Összesen | 24 | 1,000 |
Folytonos valószínűségi változóból származó minta esetén
szerkesztésA módusz a gyakorisági görbe maximum helye, amely az osztályközös gyakorisági sorból becsülhető. A móduszt mindig az az osztályköz tartalmazza, amelyikhez a hisztogram legmagasabb oszlopa tartozik.
Osztályközös gyakorisági sor esetén a következő képlettel becsülhetjük a móduszt:[1]
: a módusz osztályközének alsó határa
: a módusz osztályközének gyakorisága
: a móduszt megelőző osztályköz gyakorisága
: a móduszt követő osztályköz gyakorisága
: a módusz osztályközének hossza
a módusz osztályköze: az az osztályköz, ahol a legnagyobb
A képlet csak egyenlő hosszúságú osztályközök esetén érvényes, ellenkező esetben helyett használata szükséges.
Kapcsolódó szócikkek
szerkesztésHivatkozások
szerkesztés- ↑ Hunyadi László, Vita László. Statisztika közgazdászoknak. Budapest: Központi Statisztikai Hivatal (2002)