Losange

Un losange est un quadrilatère dont les côtés ont tous la même longueur, ou encore un parallélogramme ayant au moins deux côtés consécutifs de même longueur. Il était anciennement appelé rhombe du grec ρόμβος (et porte toujours un nom tiré de cette étymologie dans de nombreuses langues, comme rhombus en anglais ou encore rombo en espagnol et en italien). L'adjectif qui lui est relatif est rhombique.

Deux losanges. La figure de gauche montre que les quatre côtés sont de même longueur. La figure de droite est un losange où les propriétés du parallélogramme sont mises en évidence.

Propriétés

Propriété 1

Pour tout quadrilatère non croisé (et donc non aplati) d'un plan euclidien, les propositions suivantes sont équivalentes :

1. ce quadrilatère est un losange ;
2. ce quadrilatère a ses côtés de même longueur et ses sommets distincts ;
3. les diagonales de ce quadrilatère se coupent en leur milieu (autrement dit : c'est un parallélogramme) et elles sont perpendiculaires.

Ce quadrilatère a deux angles aigus et deux angles obtus (sauf dans le cas particulier où le losange est aussi un carré, auquel cas tous les angles sont droits). Un de ses angles aigus + un de ses angles obtus = 180° ; exemple : 110°(obtus) + 70°(aigu) = 180°.

Démonstration

Soit ABCD un quadrilatère non aplati. Soient I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD].

• Montrons (1) implique (2) :

On suppose que ABCD est un losange.

Comme c'est un parallélogramme, on a AB = CD, BC = AD et comme c'est un losange, on a AB = CB. Par transitivité, AB = BC = CD = DA. Enfin, les quatre sommets d'un parallélogramme non aplati sont distincts.

• Montrons (2) implique (3) :

On suppose que AB = BC = CD = DA et que les quatre sommets sont distincts.

De AB = BC et CD = DA, on conclut que (BD) est la médiatrice de [AC]. Ainsi (BD) est perpendiculaire à (AC) et passe par I.

On montre de même que (AC) passe par J.

Comme (AC) et (BD) sont perpendiculaires, elles ont un unique point commun et donc I = J.

• Montrons (3) implique (1) :

On suppose que les diagonales se coupent en leur milieu (c'est donc un parallélogramme) et qu'elles sont perpendiculaires.

Comme (BD) est perpendiculaire à (AC) et passe par I, on conclut que (BD) est la médiatrice de [AC] et donc AB = BC.

Losange aplati ABCD

Illustration pour le cas d'un losange plat :

Propriété 2

Les diagonales d'un losange sont les bissectrices de ses angles.

Démonstration

Soit un losange ABCD de centre O. La propriété 1 entraîne que les triangles ABO, CBO, ADO, et CDO sont superposables. D'où :

${\widehat {OAB}}$ = ${\widehat {OAD}}$ = ${\widehat {OCB}}$ = ${\widehat {OCD}}$ et

${\widehat {OBA}}$ = ${\widehat {OBC}}$ = ${\widehat {ODA}}$ = ${\widehat {ODC}}$ .

C'est-à-dire : les diagonales du losange sont les bissectrices de ses angles.

Propriété 3

Les angles opposés d'un losange ont la même mesure deux à deux.

Démonstration

Soit un losange ABCD de centre O. D'après la preuve de la propriété 2 :

${\widehat {OAB}}$ = ${\widehat {OAD}}$ = ${\widehat {OCB}}$ = ${\widehat {OCD}}$ et

${\widehat {OBA}}$ = ${\widehat {OBC}}$ = ${\widehat {ODA}}$ = ${\widehat {ODC}}$ .

Donc ${\widehat {DAB}}$ = ${\widehat {DCB}}$ et ${\widehat {ABC}}$ = ${\widehat {ADC}}$ .

Propriété 4

Un losange a au moins deux axes de symétrie : ses diagonales.

Démonstration

Soit un losange ABCD de centre O. D'après 3. de la propriété 1, les diagonales se coupent en leur milieu (propriété du parallélogramme) et sont perpendiculaires. Donc C est l'image de A par la symétrie d'axe (BD) et D est l'image de B par la symétrie d'axe (AC).

Remarques

La définition du losange comme étant un parallélogramme impose qu'un losange soit une figure plane. Il existe des quadrilatères (avec quatre sommets bien distincts) ayant les quatre côtés de même longueur qui ne sont pas des losanges. Il suffit de se placer dans un espace affine euclidien de dimension 3 et de faire subir à un côté d'un "vrai losange" une rotation suivant l'une de ses diagonales.

Un carré est un losange particulier. C'est le seul qui soit aussi un rectangle, c'est-à-dire possédant quatre angles droits.

Aire

$A={\frac {d\times D}{2}}$

où d représente la longueur de la petite diagonale et D représente la longueur de la grande diagonale du losange.

Polyèdres à faces losanges

Rhomboèdre

Un polyèdre à faces losanges est dit "rhombique". Un polyèdre dont les six faces sont des losanges est appelé un rhomboèdre, mais il existe d'autres polyèdres rhombiques comme le dodécaèdre rhombique et le triacontaèdre rhombique.

Sens figuré

« La marque au losange » est une expression régulièrement utilisée pour désigner la marque automobile Renault, en référence à la forme de son logo.

Logo de Renault en 1946

Articles connexes

• Antenne losange
• Macle (cristallographie)
• Macle (héraldique)
• Losange d'or