Bayesova věta

Bayesova věta (alternativně Bayesova formule, Bayesův vzorec) je věta teorie pravděpodobnosti, která udává, jak podmíněná pravděpodobnost nějakého jevu souvisí s opačnou podmíněnou pravděpodobností. Poprvé na tuto souvislost upozornil anglický duchovní Thomas Bayes (1702–1761) v posmrtně vydaném článku An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances (1763). Roku 1774 větu znovu objevil francouzský matematik a fyzik Pierre-Simon Laplace, nicméně postupně upadla v zapomnění a rozšířila se až v 2. polovině 20. století. Frekvenční interpretace pravděpodobnosti se poté nazývá klasická či Laplaceova, právě podle Pierre-Simona Laplace.

Ilustrace pomocí dvou spojených třídimenzionálních stromových diagramů Bayesovy věty

Jedno z mnoha použití Bayesovy věty je v oblasti statistické inference (konkrétně Bayesova inference). Věta taktéž položila základy relativně novému směru statistiky – bayesovské statistiky.

Znění věty

Nechť $A$ a $B$ jsou náhodné jevy a $\mathrm {P} (B)\neq 0$. Potom platí

$\mathrm {P} (A\mid B)={\frac {\mathrm {P} (B\mid A)\,\mathrm {P} (A)}{\mathrm {P} (B)}}$.

Důkaz

Důkaz věty vychází z definice podmíněné pravděpodobnosti:

$\mathrm {P} (A\mid B)={\frac {\mathrm {P} (A\cap B)}{\mathrm {P} (B)}}$, pokud $\mathrm {P} (B)\neq 0$. Symetricky $\mathrm {P} (B\mid A)={\frac {\mathrm {P} (A\cap B)}{\mathrm {P} (A)}}$, pokud $\mathrm {P} (A)\neq 0$.

Vyjádřením pravděpodobnosti průniku v obou rovnicích získáváme $\mathrm {P} (A\mid B)\mathrm {P} (B)=\mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (B\mid A)\mathrm {P} (A)$. Vyjádřením $\mathrm {P} (A\mid B)$ obdržíme Bayesovu formuli:

$\mathrm {P} (A\mid B)={\frac {\mathrm {P} (B\mid A)\mathrm {P} (A)}{\mathrm {P} (B)}}$, pokud $\mathrm {P} (B)\neq 0$.

Alternativní formy Bayesovy věty

Pro všechny alternativní formy Bayesovy věty uvažujme nenulovost jmenovatele.

Rozšířené znění

Mějme náhodné jevy $A$ a $B_{j}$, pro $j={1,...,k}$. Nechť jsou jevy $B_{j}$ po dvou disjunktní pro každé $j$ a nechť tvoří celý pravděpodobnostní prostor, tedy ${\sum _{i=1}^{k}\mathrm {P} (B_{i})=1}$. Potom platí

$\mathrm {P} (B_{j}\mid A)={\frac {\mathrm {P} (A\mid B_{j})\,\mathrm {P} (B_{j})}{\mathrm {P} (A)}}$.

Využití doplňku

Při počítání s Bayesovou formulí je výhodné znát následující úpravu, jelikož nemusíme znát pravděpodobnost náhodných jevů, nýbrž pouze jejich pravděpodobnosti podmíněné.

Tato formule spočívá ve vhodné úpravě jmenovatele, tedy

$\mathrm {P} (B)=\mathrm {P} (B\mid A)\mathrm {P} (A)+\mathrm {P} (B\mid A^{c})\mathrm {P} (A^{c})$, kde využíváme vztahu $B=(B\cap A)\cup (B\cap A^{c})$.

Po dosazení do původní věty dostáváme

$\mathrm {P} (A\mid B)={\frac {\mathrm {P} (B\mid A)\mathrm {P} (A)}{\mathrm {P} (B\mid A)\mathrm {P} (A)+\mathrm {P} (B\mid A^{c})\mathrm {P} (A^{c})}}$.

Rodělení doplňku

Tato forma Bayesovy věty vychází z předpokladu Bayesovy věty, tedy že platí $\sum _{i=1}^{k}\mathrm {P} (B_{i})=1$. Lze ale vyjádřit pravděpodobnost $i$-tého členu $\mathrm {P} (B_{i})=\sum _{j=1}^{i-1}\mathrm {P} (B_{j})+\sum _{j=i+1}^{k}\mathrm {P} (B_{j})=\mathrm {P} (1-B_{i})=\mathrm {P} (B^{c})$. Tedy získáváme upravenou verzi Bayesovy věty využívající doplněk. Pro rozložení podmíněné pravděpodobnosti na pravé straně rovnice lze využít větu o úplné pravděpodobnosti.

Mějme neslučitelné náhodné jevy $B_{n}$, kde $n={1,...,k}$ takové, že pro ně platí $\mathrm {P} (\bigcup _{n=1}^{k}B_{n})=1$. Pak platí

$\mathrm {P} (B_{n}\mid A)={\frac {\mathrm {P} (A\mid B_{n})\mathrm {P} (B_{n})}{\sum _{j}\mathrm {P} (A\mid B_{j})\mathrm {P} (B_{j})}}$.

Verzi věty lze z konečného počtu náhodných jevů rozšířit i na nekonečně spočetně jevů.

Přidání historie

Přidání jednoho prvku

Formu, která bere v potaz historii, lze odvodit zavedením substituce $B=C\cap H$ a dosazení do znění Bayesovy věty. Získáváme tedy

$\mathrm {P} (A\mid C\cap H)={\frac {\mathrm {P} (C\cap H\mid A)\,\mathrm {P} (A)}{\mathrm {P} (C\cap H)}}={\frac {\mathrm {P} (C\cap H\cap A)}{\mathrm {P} (C\cap H)}}={\frac {\mathrm {P} (C\mid A\cap H)\,\mathrm {P} (A\cap H)}{\mathrm {P} (C\mid H)\,\mathrm {P} (H)}}={\frac {\mathrm {P} (C\mid A\cap H)\,\mathrm {P} (A\mid H)\,\mathrm {P} (H)}{\mathrm {P} (C\mid H)\,\mathrm {P} (H)}}={\frac {\mathrm {P} (C\mid A\cap H)\,\mathrm {P} (A\mid H)}{\mathrm {P} (C\mid H)}}$, z čehož získáváme vzorec

$\mathrm {P} (A\mid C\cap H)={\frac {\mathrm {P} (C\mid A\cap H)\,\mathrm {P} (A\mid H)}{\mathrm {P} (C\mid H)}}$, ze kterého přeznačením (pro konzistenci) získáváme formu Bayesovy věty zobecňující prvek historie $H$ v následující podobě:

$\mathrm {P} (A\mid B\cap H)={\frac {\mathrm {P} (B\mid A\cap H)\,\mathrm {P} (A\mid H)}{\mathrm {P} (B\mid H)}}$.

Přidání více prvků

Obdobným způsobem lze přidat konečně mnoho prvků historie $H_{i}$, respektive i nekonečně spočetně. Můžeme ${\mathcal {H}}$ definovat pomocí součtů jako ${\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}H_{i}$ (respektive ${\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{\infty }H_{i}$).

Tato forma Bayesovy věty může být užitečná, pokud v příkladu testování na drogy budu mít více testovaných lidí, pak obecně $H_{i}$ označíme výsledek $i$-tého testu, tedy pokud byl první test pozitivní, výsledek do historie zaneseme například jako $H_{1}=1$, pokud by byl negativní, pak bychom položili $H_{1}=0$.

Výsledná forma zobecňující všechny výsledky má podobu

$\mathrm {P} (A\mid B\cap {\mathcal {H}})={\frac {\mathrm {P} (B\mid A\cap {\mathcal {H}})\,\mathrm {P} (A\mid {\mathcal {H}})}{\mathrm {P} (B\mid {\mathcal {H}})}}$.

Šancová forma Bayesovy věty

Z definice šance $\mathrm {\mbox{Š}} (A)={\frac {\mathrm {P} (A)}{\mathrm {P} (A^{c})}}={\frac {\mathrm {P} (A)}{1-\mathrm {P} (A)}}$ lze odvodit vzorec poměrů pravděpodobností $\mathrm {P} (H_{1}\mid D):\mathrm {P} (H_{2}\mid D)$, který má tvar

${\frac {\mathrm {P} (H_{1}\mid D)}{\mathrm {P} (H_{2}\mid D)}}={\frac {\mathrm {P} (H_{1})}{\mathrm {P} (H_{2})}}\cdot {\frac {\mathrm {P} (D\mid H_{1})}{\mathrm {P} (D\mid H_{2})}}$, tedy slovně aposteriorní šance hypotézy $H_{1}$ proti hypotéze $H_{2}$ je rovna součinu apriorní šance hypotézy $H_{1}$ proti hypotéze $H_{2}$ a poměru věrohodností hypotézy $H_{1}$ proti hypotéze $H_{2}$.

Bayesova věta pro spojité náhodné vektory

Bayesovu větu lze popsat i pomocí hustoty spojitých náhodných vektorů $\mathbf {X}$ a $\mathbf {Y}$. Tedy podmíněná hustota $\rho _{\mathbf {X} }(x\mid y)$ spojitého náhodného vektoru $\mathbf {X}$ vzhledem k $\mathbf {Y}$ je rovna

$\rho _{\mathbf {X} }(x\mid y)={\begin{cases}{\frac {\rho _{\mathbf {Y} }(y\mid x)\,f_{\mathbf {X} }(x)}{f_{\mathbf {Y} }(y)}}{\mbox{ pro }}f_{\mathbf {Y} }(y)\neq 0\\0{\mbox{ jinak.}}\end{cases}}$

Podobu Bayesovy věty pro spojité náhodné vektory lze odvodit dosazením vztahu $f(x,y)=h_{\mathbf {Y} }(y\mid x)f_{\mathbf {X} }(x)$ do vztahu podmíněné hustoty $\mathbf {X}$ vzhledem k $\mathbf {Y}$, tedy $h_{\mathbf {X} }(x\mid y)={\frac {f(x,y)}{f_{\mathbf {Y} }(y)}}$.

Příklady použití

Testování na drogy

Nyní si ukažme příklad použití Bayesova pravidla při testování na drogy. Vyjdeme z předpokladů, že test na prokázání drog má senzitivitu 99 % a specificitu 99 %. Test se na první pohled zdá být docela přesný, ale pomocí Bayesovy věty lze ukázat, že netriviální procento testovaných může být nesprávně označeno za uživatele drog. Nechť je v testovaném podniku prevalence 0,5 %, tj. 0,5 % ze zaměstnanců drogy opravdu užívá.

Jaká je pravděpodobnost, že osoba s pozitivním testem drogy opravdu používá?

Označme si uživatele drog jako "A", "N" všechny ostatní. Nechť "+" znamená pozitivní test. Popišme si následující veličiny:

• $\mathrm {P} (A)$ pravděpodobnost, že osoba je uživatelem drog (prevalence), tj. $0.005$
• $\mathrm {P} (N)$ pravděpodobnost, že osoba není uživatelem drog; zjistíme pomocí doplňkového jevu, tzn. $1-\mathrm {P} (A)=0.995$
• $\mathrm {P} (+\mid A)$ pravděpodobnost, že test je pozitivní, když je osoba uživatelem drog; jinými slovy sensitivita testu: $0.99$
• $\mathrm {P} (+\mid N)$ je pravděpodobnost, že test bude pozitivní, i přesto, že osoba není uživatelem drog; lze interpretovat jako doplněk k specificitě testu: $0.01$
• $\mathrm {P} (+)$ je pravděpodobnost, že test bude pozitivní.

Pravděpodobnost $\mathrm {P} (+)$ sice zadanou nemáme, ale lze ji vypočítat dle výše zmíněné formule:

$\mathrm {P} (+)=\mathrm {P} (+\mid A)\cdot \mathrm {P} (A)+\mathrm {P} (+\mid N)\cdot \mathrm {P} (N)$

Po dosazení dostáváme výsledek 1,49 %:

$\mathrm {P} (+)=0.99\times 0.005+0.01\times 0.995=0.0149.$

Díky těmto údajům můžeme vypočítat žádanou pravděpodobnost $\mathrm {P} (A\mid +)$ pomocí Bayesovy věty:

$\mathrm {P} (A\mid +)={\frac {\mathrm {P} (+\mid A)\mathrm {P} (A)}{\mathrm {P} (+)}}={\frac {0.99\times 0.005}{0.0149}}=0.3322.$

Všimněme si, že i přes vysokou specificitu a senzitivitu je výsledek testu poměrně nepřesný. U zaměstnance podniku s pozitivním testem je jen 33% pravděpodobnost, že je skutečně uživatelem drog.

Specificita a senzitivita

Senzitivita testu (také citlivost testu) nám udává úspěšnost, s níž test zachytí přítomnost sledovaného stavu (nemoci) u daného subjektu. V našem příkladu to znamená, že test správně identifikuje skutečné uživatele drog v 99 % případů.

Specificita testu nám vyjadřuje úspěšnost, s níž test určí případy, u nichž zkoumaný stav (nemoc) nenastává. 99% specificita testu znamená, že test s 99% pravděpodobností správně vyloučí osobu, která drogy nepoužívá.

Bayesovská statistika

Bayesovská statistika je pokročilejší odvětví statistiky, které místo bodových odhadů parametrů z dat uvažuje nějaké pravděpodobnostní rozdělení nad možnými hodnotami parametru. To může být apriorní (známé již před získáním dat) nebo aposteriorní (apriorní rozdělení upravené informacemi zachycenými v datech). Matematicky se tento přechod od apriorního rozdělení a dat k aposteriornímu rozdělení formuluje pomocí podmíněných pravděpodobností a Bayesova věta tedy v bayesovské statistice přirozeně hraje klíčovou roli.

Odkazy

Související články

• Bayesovská statistika
• Bayesovská hra

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Bayesova věta na Wikimedia Commons
• Seeing Theory - Bayesian Inference – vizualizace Bayesovy věty na několika příkladech (anglicky)

Autoritní data	GND: 4144221-0

Portály: Matematika