En matemàtiques , es coneix com a Teorema de Rouché-Frobenius (pels matemàtics Eugène Rouché i Ferdinand Georg Frobenius ), un teorema que estableix la condició d'existència de solucions en els sistemes d'equacions lineals. També rep els noms de teorema de Kronecker-Capelli , de Rouché-Capelli o de Rouché-Fontené .
Sigui el sistema lineal d'equacions
{
α
1
1
x
1
+
α
2
1
x
2
+
⋯
+
α
m
1
x
m
=
β
1
α
1
2
x
1
+
α
2
2
x
2
+
⋯
+
α
m
2
x
m
=
β
2
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
α
1
n
x
1
+
α
2
n
x
2
+
⋯
+
α
m
n
x
m
=
β
n
(
1
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}\alpha _{1}^{1}x^{1}+\alpha _{2}^{1}x^{2}+\cdots +\alpha _{m}^{1}x^{m}&=\beta ^{1}\\\alpha _{1}^{2}x^{1}+\alpha _{2}^{2}x^{2}+\cdots +\alpha _{m}^{2}x^{m}&=\beta ^{2}\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\\alpha _{1}^{n}x^{1}+\alpha _{2}^{n}x^{2}+\cdots +\alpha _{m}^{n}x^{m}&=\beta ^{n}\\\end{aligned}}\end{cases}}\qquad \qquad \qquad (1)}
amb, respectivament, matriu del sistema i matriu ampliada
A
=
(
α
1
1
α
2
1
…
α
m
1
α
1
2
α
2
2
…
α
m
2
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
α
1
n
α
2
n
…
α
m
n
)
,
(
A
|
b
)
=
(
α
1
1
α
2
1
…
α
m
1
β
1
α
1
2
α
2
2
…
α
m
2
β
2
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
α
1
n
α
2
n
…
α
m
n
β
n
)
{\displaystyle A={\begin{pmatrix}\alpha _{1}^{1}&\alpha _{2}^{1}&\ldots &\alpha _{m}^{1}\\\alpha _{1}^{2}&\alpha _{2}^{2}&\ldots &\alpha _{m}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \,\vdots \,\vdots &\vdots \\\alpha _{1}^{n}&\alpha _{2}^{n}&\ldots &\alpha _{m}^{n}\\\end{pmatrix}}\,,\qquad (A|b)={\begin{pmatrix}\alpha _{1}^{1}&\alpha _{2}^{1}&\ldots &\alpha _{m}^{1}&\beta ^{1}\\\alpha _{1}^{2}&\alpha _{2}^{2}&\ldots &\alpha _{m}^{2}&\beta ^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \,\vdots \,\vdots &\vdots &\vdots \\\alpha _{1}^{n}&\alpha _{2}^{n}&\ldots &\alpha _{m}^{n}&\beta ^{n}\\\end{pmatrix}}}
i sistema homogeni associat
{
α
1
1
x
1
+
α
2
1
x
2
+
⋯
+
α
m
1
x
m
=
0
α
1
2
x
1
+
α
2
2
x
2
+
⋯
+
α
m
2
x
m
=
0
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
α
1
n
x
1
+
α
2
n
x
2
+
⋯
+
α
m
n
x
m
=
0
(
2
)
{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}\alpha _{1}^{1}x^{1}+\alpha _{2}^{1}x^{2}+\cdots +\alpha _{m}^{1}x^{m}&=0\\\alpha _{1}^{2}x^{1}+\alpha _{2}^{2}x^{2}+\cdots +\alpha _{m}^{2}x^{m}&=0\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \\\alpha _{1}^{n}x^{1}+\alpha _{2}^{n}x^{2}+\cdots +\alpha _{m}^{n}x^{m}&=0\\\end{aligned}}\end{cases}}\qquad \qquad \qquad (2)}
Es coneix com a teorema de Rouché-Frobenius el conjunt de les següents proposicions sobre sistemes d'equacions lineals:
El sistema
(
1
)
{\displaystyle (1)}
és compatible , és a dir, té solució, si, i només si, la matriu del sistema i la matriu ampliada tenen el mateix rang , això és,
rang
A
=
rang
(
A
|
b
)
{\displaystyle {\mbox{rang}}\,A={\mbox{rang}}\,(A|b)}
Si el sistema
(
1
)
{\displaystyle (1)}
és compatible , aleshores la solució general del sistema s'obté tot sumant a una solució particular la solució general del sistema homogeni associat
(
2
)
{\displaystyle (2)}
.
Com que, si
rang
A
=
m
{\displaystyle {\mbox{rang}}\,A=m}
(el nombre d'incògnites), el sistema homogeni associat només té la solució trivial
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
m
=
0
{\displaystyle x^{1}=x^{2}=\cdots =x^{m}=0}
resulta que el sistema
(
1
)
{\displaystyle (1)}
, en cas de ser compatible, és determinat , és a dir, amb solució única, si, i només si,
rang
A
=
m
{\displaystyle {\mbox{rang}}\,A=m}
. Si
rang
A
<
m
{\displaystyle {\mbox{rang}}\,A<m}
, aleshores la solució de
(
1
)
{\displaystyle (1)}
no és única i el sistema es diu indeterminat .
Si el cos al qual pertanyen tant coeficients com incògnites és infinit, el cas dels nombres racionals ,
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
, i les seves extensions algebraiques , dels nombres reals ,
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
, o dels nombres complexos ,
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
, aleshores els nombre de solucions d'un sistema lineal indeterminat és infinit.
La primera de les afirmacions del teorema resulta òbvia si tenim en compte que, si en afegir la columna
b
=
(
β
1
β
2
⋮
β
n
)
{\displaystyle b={\begin{pmatrix}\beta ^{1}\\\beta ^{2}\\\vdots \\\beta ^{n}\\\end{pmatrix}}}
dels termes independents a la matriu
A
{\displaystyle A}
del sistema, el rang no varia, això és perquè el vector columna de termes independents,
b
{\displaystyle b}
, no és linealment independent dels vectors columna de coeficients,
a
1
=
(
α
1
1
α
1
2
⋮
α
1
n
)
,
a
2
=
(
α
2
1
α
2
2
⋮
α
2
n
)
,
…
,
a
m
=
(
α
m
1
α
m
2
⋮
α
m
n
)
{\displaystyle a_{1}={\begin{pmatrix}\alpha _{1}^{1}\\\alpha _{1}^{2}\\\vdots \\\alpha _{1}^{n}\\\end{pmatrix}}\,,\quad a_{2}={\begin{pmatrix}\alpha _{2}^{1}\\\alpha _{2}^{2}\\\vdots \\\alpha _{2}^{n}\\\end{pmatrix}}\,,\quad \ldots \,,a_{m}={\begin{pmatrix}\alpha _{m}^{1}\\\alpha _{m}^{2}\\\vdots \\\alpha _{m}^{n}\\\end{pmatrix}}}
i, per tant, hi ha
x
1
,
x
2
,
…
,
x
m
{\displaystyle x^{1},x^{2},\ldots ,x^{m}}
que fan
x
1
a
1
+
x
2
a
2
+
⋯
+
x
m
a
m
=
b
{\displaystyle x^{1}a_{1}+x^{2}a_{2}+\cdots +x^{m}a_{m}=b}
i el sistema
(
1
)
{\displaystyle (1)}
té solució. En canvi
rang
A
<
rang
(
A
|
b
)
{\displaystyle {\mbox{rang}}\,A<{\mbox{rang}}\,(A|b)}
implica la independència lineal del vector
b
{\displaystyle b}
i, per tant, la no existència dels escalars
x
1
,
x
2
,
…
,
x
m
{\displaystyle x^{1},x^{2},\ldots ,x^{m}}
, és a dir, la no existència de solucions.
La segona de les afirmacions del teorema també resulta immediata després de considerar que, si
x
1
1
,
x
1
2
,
…
,
x
1
m
{\displaystyle x_{1}^{1},x_{1}^{2},\ldots ,x_{1}^{m}}
és una solució del sistema
(
1
)
{\displaystyle (1)}
i
x
2
1
,
x
2
2
,
…
,
x
2
m
{\displaystyle x_{2}^{1},x_{2}^{2},\ldots ,x_{2}^{m}}
també ho és, aleshores
x
1
1
−
x
2
1
,
x
1
2
−
x
2
2
,
…
,
x
1
m
−
x
2
m
{\displaystyle x_{1}^{1}-x_{2}^{1},x_{1}^{2}-x_{2}^{2},\ldots ,x_{1}^{m}-x_{2}^{m}}
és una solució del sistema homogeni
(
2
)
{\displaystyle (2)}
.