Homomorfisme dual

Si $\varphi :M\longrightarrow N$ és un homomorfisme entre dues estructures lineals (dos mòduls sobre el mateix anell o dos espais vectorials sobre el mateix cos $A$ ) hi ha un únic homomorfisme

$\varphi ^{\ast }:N^{\ast }\longrightarrow M^{\ast }\,$

entre les respectives estructures duals que compleix

$\langle m,\varphi ^{\ast }(\nu )\rangle =\langle \varphi (m),\nu \rangle \,,\quad m\in M\,,\quad \nu \in N^{\ast }\,$

Aquest homomorfisme, $\varphi ^{\ast }$ , és l'homomorfisme dual de l'homomorfisme $\varphi$ .

Existència i unicitat

Existència

La relació

$\langle m,\varphi ^{\ast }(\nu )\rangle =\langle \varphi (m),\nu \rangle \,,\quad m\in M\,,\quad \nu \in N^{\ast }\,$

defineix efectivament una única forma lineal a $M^{\ast }$ . En efecte, del fet que la forma bilineal canònica de $M\times M^{\ast }$ és no degenerada en resulta que, si

$\forall m\in M\,,\,\langle m,\mu _{1}\rangle =\langle m,\mu _{2}\rangle =\langle \varphi (m),\nu \rangle \,,\quad \mu _{1},\mu _{2}\in M^{\ast }\,,\quad \nu \in N^{\ast }\,$

$\mu _{1}-\mu _{2}$ pertany al subespai nul de la forma bilineal i, com que és no degenerada, és zero i $\mu _{1}=\mu _{2}=\varphi ^{\ast }(\nu )$ . La linealitat de la forma $\varphi ^{\ast }(\nu )$ és, també immediata:

${\begin{aligned}\langle m,\varphi ^{\ast }\left(\lambda _{1}\nu _{1}+\lambda _{2}\nu _{2}\right)\rangle &=\langle \varphi (m),\lambda _{1}\nu _{1}+\lambda _{2}\nu _{2}\rangle =\lambda _{1}\langle \varphi (m),\nu _{1}\rangle +\lambda _{2}\langle \varphi (m),\nu _{2}\rangle =\\&=\lambda _{1}\langle m,\varphi ^{\ast }\left(\nu _{1}\right)\rangle +\lambda _{2}\langle m,\varphi \left(\nu _{2}\right)\rangle =\\&=\langle m,\lambda _{1}\varphi ^{\ast }\left(\nu _{1}\right)+\lambda _{2}\varphi ^{ast}\left(\nu _{2}\right)\rangle \,,\quad m\in M\,,\quad \nu _{1},\nu _{2}\in N^{\ast }\,,\quad \lambda _{1},\lambda _{2}\in A\end{aligned}}\,$

Unicitat

La mateixa argumentació, basada en la no degeneració de la forma bilineal canònica sobre $M\times M^{\ast }$ , mostra la unicitat de l'homomorfisme dual: si

$\forall m\in M\,,\,\forall \nu \in N^{\ast }\,,\,\langle m,\varphi _{1}^{\ast }(\nu )\rangle =\langle m,\varphi _{2}^{\ast }(\nu )\rangle =\langle \varphi (m),\nu \rangle \,$

resulta

$\forall m\in M\,,\,\forall \nu \in N^{\ast }\,,\,\langle m,\varphi _{1}^{\ast }(\nu )-\varphi _{2}^{\ast }(\nu )\rangle =0\,$

és a dir,

$\forall \nu \in N^{\ast }\,,\,\varphi _{1}^{\ast }(\nu )-\varphi _{2}^{\ast }(\nu )=0\,$

i $\varphi _{1}^{\ast }=\varphi _{2}^{\ast }$ .

Propietats

Les següents propietats són immediates:

$\left(\lambda \varphi +\mu \psi \right)^{\ast }=\lambda \varphi ^{\ast }+\mu \psi ^{\ast }\,,\quad \lambda ,\mu \in A$
$\left(\varphi \circ \psi \right)^{\ast }=\psi ^{\ast }\circ \varphi ^{\ast }$

Nuclis i imatges duals

Entre els nuclis i imatges d'homomorfismes duals en resulten les següents relacions de dualitat

$\left(\varphi (M)\right)^{\ast }=N^{\ast }/\ker \varphi ^{\ast }\,$

$\left(M/\ker \varphi \right)^{\ast }=\varphi ^{\ast }\left(N^{\ast }\right)\,$

perquè les dues formes bilineals

$\varphi (M)\times N^{\ast }/\ker \varphi ^{\ast }\longrightarrow A\,$	$M/\ker \varphi \times \varphi ^{\ast }\left(N^{\ast }\right)\longrightarrow A\,$
$\langle \varphi (m),{\tilde {\nu }}\rangle =\langle \varphi (m),\nu \rangle \,$	$\langle {\tilde {m}},\varphi ^{\ast }(\nu )\rangle =\langle m,\varphi ^{\ast }(\nu )\rangle \,$

són no degenerades i, en conseqüència, tenen aquestes relacions de dualitat.

Aplicacions duals entre espais vectorials de dimensió finita

Si $M$ i $N$ són espais vectorials de dimensió finita, també ho són els duals $M^{\ast }$ i $N^{\ast }$ i els subespais $\ker \varphi$ , $\varphi (M)$ , $\ker \varphi ^{\ast }$ , $\varphi ^{\ast }\left(N^{\ast }\right)$ i, de les relacions de dualitat ja establertes, en resulta

$\dim M=\dim M^{\ast }\,$	$\dim N=\dim N^{\ast }\,$
$\dim \varphi (M)=\dim N^{\ast }/\ker \varphi ^{\ast }\,$	$\dim M/\ker \varphi =\varphi ^{\ast }\left(N^{\ast }\right)\,$

que, junt amb els isomorfismes

$M/\ker \varphi =\varphi (M)\,$

$N^{\ast }/\ker \varphi ^{\ast }=\varphi ^{\ast }(N)\,$

dona

$\dim \varphi (M)=\dim \varphi ^{\ast }\left(N^{\ast }\right)\,$

i dues aplicacions duals, $\varphi$ i $\varphi ^{\ast }$ tenen el mateix rang.

Matrius d'aplicacions duals

Si $M$ , $M^{\ast }$ i $N$ , $N^{\ast }$ són parelles duals d'espais vectorials de dimensió finita, $\varphi :M\longrightarrow N$ i $\varphi ^{\ast }:N^{\ast }\longrightarrow M^{\ast }$ són dos homomorfismes duals i

${\mathcal {B}}_{M}=\left\{u_{1},u_{2},\ldots u_{m}\right\}\,$	${\mathcal {B}}_{M^{\ast }}=\left\{u_{1}^{\ast },u_{2}^{\ast },\ldots u_{m}^{\ast }\right\}\,$
${\mathcal {B}}_{N}=\left\{v_{1},v_{2},\ldots u_{n}\right\}\,$	${\mathcal {B}}_{N^{\ast }}=\left\{v_{1}^{\ast },v_{2}^{\ast },\ldots v_{n}^{\ast }\right\}\,$

en són les respectives bases i bases duals, la matriu de l'homomorfisme $\varphi$ consisteix en les $m$ columnes $\varphi (u_{j})\,,\,j=1,\ldots ,m$ , cadascuna amb $n$ elements. De la definició de base dual en resulta que l'element de la fila $i$ columna $j$ d'aquesta matriu és:

$\varphi \quad \longleftrightarrow \quad {\begin{pmatrix}\langle \varphi \left(u_{j}\right),v_{i}^{\ast }\rangle \end{pmatrix}}\,$

D'altra banda, si convenim a disposar els elements dels duals com a vectors fila, la matriu de l'homomorfisme dual $\varphi ^{\ast }$ consisteix en les $n$ files $\varphi ^{\ast }(v_{i}^{\ast })\,,\,i=1,\ldots ,n$ , cadascuna amb $m$ elements. De la definició de base dual en resulta que l'element de la fila $i$ columna $j$ d'aquesta matriu és:

$\varphi ^{\ast }\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{pmatrix}\langle u_{j},\varphi ^{\ast }\left(v_{i}^{\ast }\right)\rangle \end{pmatrix}}\,$

i, com que $\langle \varphi \left(u_{j}\right),v_{i}^{\ast }\rangle =\langle u_{j},\varphi ^{\ast }\left(v_{i}^{\ast }\right)\rangle$ , resulta que ambdues matrius són idèntiques. Però, si convenim a disposar els elements del dual com a vectors columna, aleshores una matriu és la matriu transposada de l'altra.

Això i que els rangs de $\varphi$ i de $\varphi ^{\ast }$ són iguals mostra que, en una matriu, el rang per files i el rang per columnes és el mateix i es pot parlar, doncs, del rang d'una matriu.