Kinetisk teori

Kinetisk teori (eller kinetisk gassteori) forsøker å forklare makroskopiske egenskaper ved gasser, som trykk, temperatur eller volum, ved å ta for seg gassenes molekylære sammensetninger og bevegelser. Teorien sier hovedsakelig at trykk ikke er en konsekvens av statisk frastøtning mellom molekyler, som var Isaac Newtons gjetning, men på grunn av kollisjoner mellom molekyler som beveger seg med forskjellige hastigheter. Kinetisk teori er også kjent som kinetisk-molekylær teori eller kollisjonsteorien.

Historie

I 1740 publiserte Daniel Bernoulli Hydrodynamica, som la grunnlaget for den kinetiske gassteorien. I dette arbeidet foreslo Bernoulli at gasser består av et stort antall molekyler som beveger seg i alle retninger, at deres støt mot en overflate er opphavet til gasstrykket som kan måles og føles av oss, og at det vi opplever som varme simpelthen er molekylenes kinetiske energi. Denne modellen brukes fortsatt i dag, men ble ikke akseptert med en gang; delvis fordi energikonservering ikke enda var akseptert, og fordi det ikke var åpenbart for fysikere hvordan kollisjonene mellom molekylene kunne være helt elastisk støt elastiske.

Andre foregangsmenn for den kinetiske teorien (som ble oversett av deres samtidige) var Dani Bernhardt (1747) , Georges-Louis Le Sage (ca. 1780, utgitt 1818) , John Herapath (1816) og John James Waterston (1843) , som koblet deres forskning med sin utvikling av mekaniske forklaringer på gravitasjon. I 1856 utviklet August Krönig, sannsynligvis etter å ha lest en avhandling av Waterston, en enkel kinetisk gassmodell, som bare tok for seg partiklenes translasjonsbevegelse.

I 1857 utviklet Rudolf Clausius, ifølge ham selv uavhengig av Krönigs arbeider, en lignende, men mer sofistikert versjon av teorien. Denne tok for seg partiklenes translasjonsbevegelse, og, i motsetning til Krönigs teori, i tillegg deres rotasjons- og - vibrasjonsbevegelse. I det samme arbeidet introduserte han konseptet om en partikkels midlere fri veilengde. I 1859, etter å ha lest en avhandling av Clausius, formulerte James Clerk Maxwell Maxwell-distribusjonen for molekylhastigheter, som ga andelen molekyler i et visst hastighetsintervall. Dette var den aller første statistiske loven innen fysikk. I sin tretten sider lange artikkel, Molecules, utgitt i septemberutgaven av Nature, sier Maxwell: «det blir fortalt oss at et 'atom' er et materielt punkt, inngytt med og omgitt av 'potensialkrefter', og at når 'flyvende molekyler' stadig treffer et hardt legeme dannes det som kalles luftens eller gassens trykk»

I begynnelsen av det tyvende århundre ble imidlertid atomer sett på av mange fysikere heller som rent hypotetiske oppfinnelser enn reelle objekter. Et viktig bidrag til å få snudd denne trenden var Albert Einsteins (1905) og Marian Smoluchowskis (1906) avhandlinger om Brownske bevegelser, som lyktes i å gjøre visse nøyaktige kvantitative forutsigelser basert på den kinetiske teori.

Postulater

Temperaturen til en ideell enatomig gass er et mål knyttet til den gjennomsnittlige kinetiske energien til alle atomene i gassen når de er i bevegelse. I denne animasjonen er størrelsen på heliumatomene i forhold til avstander seg i mellom vist i skala ved et trykk på 1 950 atm. Disse atomene har ved romtemperatur en viss, gjennomsnittlig hastighet (her redusert 2 × 10¹² ganger).

Ideell gass-teori gjør følgende antagelser:

• Gassen består av veldig små partikler, hver med en masse eller vekt i SI-enheter, kilogram.
• Antall molekyler er stort slik at problemet kan behandles statistisk.
• Molekylene er i konstant, tilfeldig bevegelse. De hurtige partiklene kolliderer konstant med hverandre og med veggene i beholderen.
• Kollisjonene mellom gasspartiklene og veggene i beholderen er perfekt elastiske.
• Vekselvirkningen mellom molekylene er neglisjerbare. De virker ikke på hverandre med krefter unntatt når de kolliderer.
• Det totale volumet til summen av de enkelte gassmolekylene er neglisjerbare sammenlignet med beholderens volum. Dette er ekvivalent med å si at gjennomsnittsavstanden mellom gasspartiklene er relativt stor sammenlignet med partiklenes utstrekning.
• Molekylene er perfekte sfærer og er elastiske.
• Den gjennomsnittlige kinetiske energien til gasspartiklene avhenger kun av systemets temperatur.
• Relativistiske effekter er neglisjerbare.
• Kvantemekaniske effekter er neglisjerbare. Dette betyr at avstanden mellom partiklene er mye større enn deres termiske de Broglie-bølgelengde og molekylene kan behandles som klassiske objekter.
• Tiden som brukes av en partikkel på å kollidere med beholderveggen er neglisjerbar sammenlignet med tiden mellom to kollisjoner.
• Bevegelsesligningene for molekylene er tidsreversible.

Mer moderne teorier har mindre strenge antagelser og er basert på Boltzmann-ligningen. Disse kan beskrive egenskapene til gasser med høy tetthet ganske nøyaktig, fordi de inkluderer molekylenes volum. De nødvendige antagelsene er da fraværelsen av kvanteeffekter, molekylært kaos og små gradienter i stoffegenskaper. Utviklinger til høyere orden i tetthet er kjent som virialutviklinger.

Trykk

Trykk er forklart av kinetisk teori å oppstå fra kreftene som påføres beholderveggene fra gassmolekylene. Anta en gass med N molekyler, hver med masse m, innelukket i en kubisk beholder med volum V. Når et gassmolekyl kolliderer med beholderveggen vinkelrett på x-aksen og spretter i motsatt retning med samme fart (et elastisk støt), er bevegelsesmengden som partikkelen taper og veggen mottar gitt ved

$\Delta p_{x}=p_{i}-p_{f}=2mv_{x}\,$

der v_x er x-komponenten til partikkelens starthastighet.

Selv om partikkelen støter mot en sidevegg en gang per 1l/v_x tidsenheter (der l er beholderens lengde), er det bare endringen i bevegelsesmengde for en vegg som her vurderes. Dermed blir tiden mellom hvert støt mot en viss vegg 2l/v_x tidsenheter .

$\Delta t={\frac {2l}{v_{x}}}$

Kraften som utføres av denne partikkelen er

$F={\frac {\Delta p}{\Delta t}}={\frac {2mv_{x}}{\frac {2l}{v_{x}}}}={\frac {mv_{x}^{2}}{l}}$

Den totale kraften som virker på veggen blir da

$F={\frac {m\sum _{j}v_{jx}^{2}}{l}}$

der det summeres over alle gassmolekylene i beholderen.

Hastighetens størrelse for hver partikkel følger:

$v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}$

Ved så å se på den totale kraften som virker på alle seks veggene i beholderen får man:

${\mbox{Total kraft}}=2\cdot {\frac {m}{l}}(\sum _{j}v_{jx}^{2}+\sum _{j}v_{jy}^{2}+\sum _{j}v_{jz}^{2})=2\cdot {\frac {m}{l}}\sum _{j}(v_{jx}^{2}+v_{jy}^{2}+v_{jz}^{2})=2\cdot {\frac {m\sum _{j}v_{j}^{2}}{l}}$

der en ekstra faktor av to kommer inn fordi man nå ser på begge veggene i en gitt retning.

Om en antar at det er et stort antall partikler som beveger seg tilstrekkelig vilkårlig, er kraften på hver vegg omtrent den samme, og ved å kun se på kreftene på en av veggene får man

$F={\frac {1}{6}}\left(2\cdot {\frac {m\sum _{j}v_{j}^{2}}{l}}\right)={\frac {m\sum _{j}v_{j}^{2}}{3l}}$.

Størrelsen $\sum _{j}v_{j}^{2}$ kan skrives som ${N}{\overline {v^{2}}}$, der streken betyr at man tar et gjennomsnitt, her gjennomsnittet over alle partiklene. Denne størrelsen kalles også $v_{rms}^{2}$, der $v_{rms}$ er rotmiddelkvadrathastigheten til hele samlingen av partikler.

Dermed kan kraften skrives som

$F={\frac {Nmv_{rms}^{2}}{3l}}$

Gassens trykk, som er kraft per arealenhet, kan nå skrives som

$P={\frac {F}{A}}={\frac {Nmv_{rms}^{2}}{3Al}}$

der A er arealet av den veggen kraften virker på.

Dermed, siden tverrsnittsarealet ganget med lengden er lik volumet, har vi følgende uttrykk for trykket:

$P={Nmv_{rms}^{2} \over 3V}$

der V er volumet. I tillegg, siden Nm er gassens totale masse, og masse delt på volum er tetthet, er

$P={1 \over 3}\rho \ v_{rms}^{2}$

der ρ er gassens tetthet.

Dette resultatet har stor betydning, for det knytter sammen trykk, en makroskopisk egenskap, med den gjennomsnittlige (translasjonelle) kinetiske energi per molekyl (1/2mv_rms²), som er en mikroskopisk egenskap. Merk at produktet av trykket og volumet simpelthen er to tredeler av den totale kinetiske energien.

Temperatur og kinetisk energi

Fra tilstandsligningen for ideell gass

$\displaystyle PV=Nk_{B}T$

(1)

der k_B er Boltzmanns konstant, følger det fra det foregående at temperaturen T kan beregnes fra den kinetiske energien til partiklene:

$\displaystyle PV=Nk_{B}T={\frac {Nmv_{rms}^{2}}{3}}\Longrightarrow T={\frac {mv_{rms}^{2}}{3k_{B}}}$

(3)

Ligning (3) er et av de viktigste resultatene i kinetisk teori: Den gjennomsnittelige molekylære kinetiske energien er proporsjonal med den absolutte temperaturen. Fra ligning (1) og ligning (3) har man

$\displaystyle PV={\frac {2}{3}}U$

(4)

Så produktet av trykket og volumet per mol er proporsjonal med den gjennomsnittlige (translasjonelle) kinetiske energien.

Ligning (1) og ligning (4) kalles de «klassiske resultatene», som også kan utledes fra statistisk mekanikk.

Siden det er 3N frihetsgrader i et enatomig-gass-system med N partikler, er den kinetiske energien per frihetsgrad

$\displaystyle {\frac {U}{3N}}={\frac {k_{B}T}{2}}$

(5)

Proporsjonalitetskonstanten i kinetisk energi per frihetsgrad er 1/2 ganger Boltzmanns konstant. Dette resultatet er knyttet til ekvipartisjonsteoremet.

Toatomige gasser burde ha 7 frihetsgrader, men oppfører seg som om de bare har 5.

Dermed er den kinetiske energien per Kelvin (enatomig ideell gass):

• per mol: 12,47 J
• per molekyl: 20.7 yJ = 129 μeV

Ved normale tilstander for trykk og temperatur (273,15 K), fås

• per mol: 3406 J
• per molekyl: 5.65 zJ = 35.2 meV

Antall støt med vegg

Man kan regne ut antall atomære eller molekylære støt mot en beholdervegg per arealenhet per tidsenhet.

Antas en ideell gass, gir en utledning en ligning for antall kollisjoner per tidsenhet per arealenhet:

$A={\frac {1}{4}}{\frac {N}{V}}v_{avg}={\frac {\rho }{4}}{\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}{\frac {1}{m}}\,$

Molekylers rotmiddelkvadrathastighet

Fra formelen for kinetisk energi kan det vises at

$v_{rms}^{2}={\frac {3RT}{\mbox{molar mass}}}$

med v i m/s, T i Kelvin og R er gasskonstanten. Den molare massen er gitt som kg/mol. Den mest sannsynlige hastigheten er 81,6% av rotmiddelkvadrathastigheten.

Se også

• Gasslover
• Varme
• Maxwell-Boltzmanns fordelingslov
• Termodynamikk
• Støtteori
• Kritisk temperatur

Kilder

• Chapman, Sydney og Cowling, T.G. (1991). The Mathematical Theory of Non-uniform Gases : An Account of the Kinetic Theory of Viscosity, Thermal Conduction and Diffusion in Gases. CS1-vedlikehold: Flere navn: forfatterliste (link)

Eksterne lenker

• Early Theories of Gases
• Thermodynamics Arkivert 28. februar 2017 hos Wayback Machine. – a chapter from an online textbook
• Temperature and Pressure of an Ideal Gas: The Equation of State on Project PHYSNET.
• Introduction to the kinetic molecular theory of gases, from The Upper Canada District School Board
• Java animation illustrating the kinetic theory from University of Arkansas
• Flowchart linking together kinetic theory concepts, from HyperPhysics
• Interactive Java Applets allowing high school students to experiment and discover how various factors affect rates of chemical reactions.
• Molecular kinetic theory fundamentals