Dirac-formalisme

Dirac-formalisme elller bra-ket-notasjon benyttes i lineær algebra hvor operatorer virker i et komplekst vektorrom. Den ble oppfunnet av den engelske fysiker Paul Dirac i 1939 for bruk i kvantemekanikk, men kan lett benyttes ved andre anvendelser.

Paul Dirac under en forelesning.

En vektor v omtales som en «ket-vektor» og betegnes med symbolet $|v\rangle$, mens en dual vektor u* kalles en «bra-vektor» med betegnelsen $\langle u|$. Dermed kan indreproduktet av disse to vektorene skrives som $\langle u|v\rangle .$ På denne formen minner dette om en engelsk bracket  hvor bokstaven c  er erstattet med en loddrett strek som skiller vektorene.

Matrisenotasjon

I et komplekst vektorrom $\mathbf {C} ^{N}$ med en basis kan operatorer representeres som N × N matriser. De virker på vektorer som er kolonnematriser og kan betraktes som ket-vektorer. Hvis vektorens komponenter er v_n  hvor indeksen n = 1, 2, ..., N, kan den derfor representeres ved kolonnevektoren

$|v\rangle =(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{N})^{T}$

hvor T  står for transponering.

Når en operator ${\hat {A}}$ virker på denne, vil den gi en ny ket-vektor $|v'\rangle ={\hat {A}}|v\rangle .$ Da operatoren er representert ved matrisen A = (A_mn) i denne basisen, er hver komponent til denne transformerte vektoren gitt som

$v'_{m}=\sum _{n=1}^{N}A_{mn}v_{n}$

Den duale vektoren til ket-vektoren $|v\rangle$ er bra-vektoren $\langle v|$ med komponenter i en radvektor,

$\langle v|=(v_{1}^{*},v_{2}^{*},\ldots ,v_{N}^{*})$

Formelt finnes den fra kolonnevektoren $|v\rangle$ ved kompleks konjugasjon etterfulgt av transponering.

Indreproduktet mellom en bra-vektor $\langle u|$ og ket-vektoren $|v\rangle$ kan uttrykkes ved vektorenes komponenter som

${\begin{aligned}\langle u|v\rangle &=\sum _{n=1}^{N}u_{n}^{*}v_{n}\\&=u_{1}^{*}v_{1}+u_{2}^{*}v_{2}+\ldots +u_{N}^{*}v_{N}\end{aligned}}$

Formelt kan derfor bra- og ket-vektorer betraktes som rad- og kolonnevektorer med komplekse komponenter.

Kvantemekanikk

Kvantemekaniske bølgefunksjoner kan beregnes fra en tilstandsvektor $|\psi \rangle$ i et komplekst og lineært vektorrom kjent som et Hilbert-rom. Det kan ha uendelig mange dimensjoner og vektorene kan ha indekser som varierer kontinuerlig.

Med en diskret basis i Hilbert-rommet kan denne «ortonormeres» slik at

$\langle m|n\rangle =\delta _{mn}$

hvor det vanlige Kronecker-deltaet opptrer på høyre side. I denne basisen kan man uttrykke tilstandsvektoren som

$|\psi \rangle =\sum _{n}\psi _{n}|n\rangle$,

hvor komponenten $\psi _{n}=\langle n|\psi \rangle$ er å betrakte som en «sannsynnlighetsamplitude» som angir graden av sannsynlighet for at systemet befinner seg i tilstand $|n\rangle .$

For en partikkel som kan bevege seg langs en linje med kontinuerlig koordinat x, er det naturlig å benytte en koordinatbasis basert på egentilstander $|x\rangle$. Deres normering er nå

$\langle x'|x\rangle =\delta (x'-x)$,

hvor Diracs deltafunksjon opptrer på høyre side.

Bølgefunksjonen til partikkelen er formelt komponenten $\psi (x)=\langle x|\psi \rangle .$ Den er sannsynlighetsamplituden for at partikkelen skal finnes i punktet x. Indreproduktet mellom to tilstandsvektorer $|\psi \rangle$ og $|\phi \rangle$ er nå gitt som

$\langle \phi |\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\!dx\,\phi ^{*}(x)\psi (x)$.

Denne beskrivelsen lar seg lett utvide til å gjelde for en kvantemekanisk partikkel som kan bevege seg i tre dimensjoner.