Kurve

Ei kurve er i matematikk ein eindimensjonal geometrisk lekam, ei kontinuerleg samling av punkt i det reelle rommet Rⁿ eller i det komplekse rommet Cⁿ. Kurva kan reknast som banen til eit punkt som rører seg. Kurva har lengd, men ikkje breidd eller djupn. Ordet kurve stammar frå det latinske linea curva, med tyding krum linje.

Kurver har mange bruksområde, både i matematikk og i andre fagområde. Studiet av kurver inngår i mange delar av matematikken, slik som i matematisk analyse, i geometri og i topologi. Ei lang rekkje kurver har eigne namn, og figuren til venstre viser ei skrulinje, òg kalla ein helix.

Ei kurve i det tre-dimensjonale rommet kan lokalt karakteriserast ved ei tangentretning, ei krumming og ein torsjon. Tangenten er ein vektor som peikar i retninga langs kurva. Krumminga indikerer kor fort tangentretninga endrar seg. Torsjonen er eit mål på om kurva er plan eller om han vrir seg ut av eit plan. Samanhengen mellom tangent, krumming og torsjon er gjeven ved Frenets formlar, òg kalla Frenet-Serrets formlar.

Omgrepet linje blir av og til brukt synonymt med ei kurve (krum linje), av og til synonymt med ei rett linje. Ei rett linje er eit spesialtilfelle av ei kurve.

For reelle funksjonar blir orda kurve òg brukt synonymt med grafen til funksjonen. Denne nytta er òg reflektert i samansetningar som «gløymselskurve» og «feberkurve».

Definisjon av ei kurve

Ei kurve i det tredimensjonale rommet R³ kan kallast ei romkurve og kan skildrast ved hjelp av ei parametrisering på forma

\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {i} +y(t)\mathbf {j} +z(t)\mathbf {k} \qquad t\in T\,

Parameterområdet T er eit intervall i R. Ei alternativ skriveform er

x=x(t)\qquad y=y(t)\qquad z=z(t)\qquad t\in T\,

Det eksisterer uendeleg mange val av parametriseringar for ei gjeven kurve. Parameteren t kan til dømes representere tida som går når eit punkt rører seg langs kurva eller representere avstanden langs kurva frå eit gjeve startpunkt.

Kva for eigenskapar funksjonane x(t) , y(t) og z(t) må oppfylle for å definere ei kurve har historisk vore omstridd. Kontinuitet i funksjonane er eit naudsynt vilkår, men ikkje tilstrekkeleg. Ofte vil ein rekna at dei førstederiverte av funksjonane er kontinuerlege eller har ei endeleg mengd diskontinuitetar. Punkt der alle dei tre deriverte av x, y og z med omsyn på t samtidig er lik null vert kalla singulære punkt. Alle andre punkt er regulære punkt.

Kurver som representerer grafen til ein funksjon kan definerast enkelt ved y = f(x), som er ekvivalent med parametriseringa

\mathbf {r} (x)=x\mathbf {i} +f(x)\mathbf {j} \,

Ei romkurve kan òg definerast implisitt ved hjelp av to likningar

F_{1}(x,y,z)=0\qquad F_{2}(x,y,z)=0.

Kvar av likningane definerer ei flate i rommet, og kurva er dermed definert som samlinga av punkt som ligg på begge flatene, det vil si langs skjeringslinja mellom flatene. I og med at to flater kan ha fleire fråskilde skjeringslinjer, treng ikkje ein implisitt definisjon å vere eintydig.

Ei kurve i planet kan definerast implisitt ved ei enkel likning av typen

F(x,y)=0.\,

Parametrisk definisjon av helix

Ein helix kan definerast ved parametriseringa

x=a\cos t\qquad y=a\sin t\qquad z=bt\,

Implisitt definisjon av kjeglesnitt

Kjeglesnitt er kurver som framtrer som skjeringslinjer når ei kjegle vert snitta av eit plan. Denne familien av plane kurver omfattar sirkel, ellipse, parabel og hyperbel. Dei to følgjande likningane definerer implisitt ein ellipse i planet z = 4:

x^{2}+4y^{2}=z^{2}\qquad z=4

Kurvetypar og eigenskapar

Ei stykkevis glatt kurve

Ei kurve er ei plan kurve dersom heile kurva ligg i eit plan. Alle kurver i R² er plane kurver.

Ei kurve er lukka dersom startpunktet og endepunktet er det same. Ein sirkel er døme på ei lukka kurve.

Ei plan, lukka kurve som ikkje kryssar seg sjølv vert kalla ei Jordankurve. Ei Jordankurve deler eit plan i ei innside og ei utside.

Ei algebraisk kurve er definert som skjeringskurva mellom to algebraiske flater. Ei algebraisk flate av grad n er definert ved ei likning p(x,y,z) = 0, der p er eit polynom av grad n. Dersom dei to algebraiske flatene har grad høvesvis m og n, så vert graden definert til den algebraiske kurva å vere lik (mn).

Ei geodetisk kurve er ei kurve som følgjer den kortaste vegen mellom to punkt på ei kurva flate. På ei kuleflate vil ei geodetisk kurve ligge på ein storsirkel. Kurver på ei kuleflate vert generelt kalla sfæriske kurver. Geodetiske kurver er òg definert for andre flater enn kuleflater.

Ei glatt kurve er ei kurve der parameterfunksjonane x(t) , y(t) og z(t) alle har kontinuerlege deriverte. Ei glatt kurve har ingen spisse hjørne. Kurva er stykkevis glatt dersom ho er glatt overalt, bortsett frå i ei endeleg mengd punkt, der ho kan ha knekkpunkt. Ei grein av kurva er ein del mellom to påfølgjande knekkpunkt. Det engelske ordet «cusp» blir brukt for å syne til eit knekkpunkt der tangentretningane til kurva på kvar side av knekkpunktet har samanfallande retning i grenseverdien når ein nærmar seg knekkpunktet.

Bogelengd og tangentvektor

Sirkel med tangent

Bogelengda til ei kurve er avstanden langs kurva frå eit gjeve startpunkt. Dersom kurva er gjeven ved ei parametrisering r = r(t) og startpunktet er r(a), så er bogelengda definert ved

s=\int \limits _{a}^{t}{\sqrt {{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}}}\;dt=\int \limits _{a}^{t}{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}\;dt\,

Her er ein prikk over posisjonsvektoren r brukt for å indikere den deriverte med omsyn på parameteren t.

Det er vanleg å bruke bogelengda som parameter i skildringa av ei kurve. Mange matematiske formlar får ei enkel form når bogelengda er vald som parameter. Tangenten er ei rett linje som rører kurva, og ein einings-tangentvektor er for definert ved uttrykket

\mathbf {t} ={\frac {d\mathbf {r} }{ds}}\,

der parameteren s er bogelengda.

Krumminga og normalvektor

Krumminga til ei kurve er eit mål for endring i tangenvektor-retninga langs kurva. Krumminga kan vere positiv eller negativ og er definert ved likninga

{\frac {d\mathbf {t} }{ds}}=\kappa \mathbf {n} .\,

Her er einingsvektoren n kalla normalvektoren, og $\kappa$ er krumminga. Absoluttverdien av inversen til krumminga vert kalla krummingsradien:

R={\frac {1}{|\kappa |}}

.

Ein sirkel har krummingsradius lik sirkelradien. Ei rett linje har krummingsradius lik uendeleg.

Torsjon og binormalvektor

Ei kurve med tangent, normal og binormalvektor, samt osculasjonsplanet.

Frå normalvektoren og tangenten kan ein definere ein tredje vektor kalla binormalvektoren til kurva:

\mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} \,

Dei tre vektorane t, n og b er alle einingsvektorar og står normalt på kvarandre. Saman er vektorene referert til som eit trihedron. Planet gjennom tangentvektoren og normalvektoren vert kalla osculasjonsplanet eller smygplanet. Ein kan rekne osculasjonsplanet som eit plan gjennom tre påfølgande punkt på kurva.

Eit mål for kor raskt ei kurve snor seg ut av osculasjonsplanet er gjeve ved torsjonen $\tau$ , definert ved likninga

{\frac {d\mathbf {b} }{ds}}=-\tau \mathbf {n} \,

Torsjonen kan vere både positiv og negativ. Ei plan kurve har torsjon lik null.

Frenets formlar

Samanhengen mellom vektorane i trihedronet, samt krumming og torsjon, er gjeven ved Frenets formlar, òg kalla Frenet-Serrets formlar:

{\begin{alignedat}{2}{\frac {d\mathbf {r} }{ds}}&=\kappa \mathbf {n} \\{\frac {d\mathbf {n} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {t} +\tau \mathbf {b} \\{\frac {d\mathbf {b} }{ds}}&=-\tau \mathbf {n} \end{alignedat}}

Formlane er kalla opp etter dei to franske matematikarane Jean Frédéric Frenet og Joseph Alfred Serret.

Fundamentalteoremet for romkurver

Gjeve to vilkårlege kontinuerlege funksjonar $\kappa =\kappa (s)$ og $\tau =\tau (s)$ der s er positiv. Då eksisterer det éi og berre éi romkurve, eintydig avgjort bortsett frå posisjon og orientering i rommet, som har bogelengda s, krumminga $\kappa$ og torsjon lik $\tau$ .

Likningane $\kappa =\kappa (s)$ og $\tau =\tau (s)$ vert kalla dei naturlege likningane til romkurva.

Liste over kurver

Kjelder

Denne artikkelen bygger på «Kurve» frå Wikipedia på bokmål, den 10. januar 2012.
- Wikipedia på bokmål oppgav desse kjeldene:
D.J.Struik (1961). Lectures on classical differensial geometry. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-65609-8.